مع بداية السنة الثالثة متوسط تعود إلى الأعداد النسبية التي بدأتها في السنة الثانية. وفي السنة الثانية تعلمت كيف تجمع وتطرح عددين نسبيين. وفي هذا الدرس تتعلم كيف تضرب عددين نسبيين، أي كيف تحسب جداءهما، وكيف تتعامل مع جداء عدة عوامل. والقاعدة التي تحكم كل ذلك هي قاعدة الإشارات، وهي من أكثر ما يتكرر في الحساب. تعرض هذه الصفحة تذكيرًا بالأعداد النسبية، ثم قاعدة جداء عددين، ثم جداء عدة عوامل، ثم الحالات الخاصة، وتنتهي بأخطاء شائعة وتمارين محلولة.
تذكير: الأعداد النسبية
العدد النسبي عدد له إشارة (موجبة + أو سالبة −) ومسافة إلى الصفر. أمثلة: +5 و−3 و+2.5 و−7. والعدد 0 ليس موجبًا ولا سالبًا. ونسمي القيمة المطلقة للعدد: المسافة بينه وبين الصفر، أي العدد من غير إشارته: |−3| = 3.
جداء عددين نسبيين
القاعدة:
- جداء عددين لهما الإشارة نفسها هو عدد موجب.
- جداء عددين مختلفي الإشارة هو عدد سالب.
ولحساب الجداء: نحسب جداء القيمتين المطلقتين ثم نضع الإشارة بحسب القاعدة.
| العاملان | إشارة الجداء | مثال |
|---|---|---|
| موجب مع موجب | موجب | (+3) × (+4) = +12 |
| سالب مع سالب | موجب | (−3) × (−4) = +12 |
| موجب مع سالب | سالب | (+3) × (−4) = −12 |
| سالب مع موجب | سالب | (−3) × (+4) = −12 |
أمثلة
(−5) × (−6) = 30.7 × (−2) = −14.(−8) × 3 = −24.(−1.5) × (−4) = 6.(−10) × 0 = 0(أي عدد مضروبًا في الصفر يعطي الصفر).
جداء عدة عوامل نسبية
عندما يكون لدينا أكثر من عاملين، نحسب القيمة المطلقة للجداء بضرب القيم المطلقة، ونحدد الإشارة بـ عدد العوامل السالبة:
- إذا كان عدد العوامل السالبة زوجيًا فالجداء موجب.
- إذا كان عدد العوامل السالبة فرديًا فالجداء سالب.
أمثلة
(−2) × (−3) × (−4): ثلاثة عوامل سالبة (عدد فردي) إذن الجداء سالب:−24.(−1) × (−5) × 2 × (−3) × (−2): أربعة عوامل سالبة (عدد زوجي) إذن الجداء موجب:1 × 5 × 2 × 3 × 2 = 60.(−3) × 4 × 5: عامل سالب واحد إذن الجداء سالب:−60.
حالات خاصة
- إذا كان أحد العوامل صفرًا فالجداء صفر.
(−1) × a = −a، فالضرب في−1يعطي معاكس العدد.(−a) × (−b) = a × b.
الضرب والقوى
جداء عامل في نفسه عدة مرات يسمى قوة. وللقوى مع الأعداد السالبة قاعدة مهمة:
(−2)² = (−2) × (−2) = 4(موجب).(−2)³ = (−2) × (−2) × (−2) = −8(سالب).−2²تعني−(2 × 2) = −4، وهي تختلف عن(−2)².
استعمال خاصية التوزيع
القاعدة نفسها تنطبق على التوزيع مع الأعداد النسبية: (−3) × (4 + 5) = (−3) × 4 + (−3) × 5 = −12 − 15 = −27.
أخطاء شائعة
- القول إن جداء عددين سالبين سالب. هو موجب.
- الخلط بين الجمع والضرب:
(−3) + (−4) = −7لكن(−3) × (−4) = 12. - الخطأ في عدّ العوامل السالبة.
- الخلط بين
(−2)²و−2². - نسيان الإشارة في النتيجة النهائية.
- نسيان أن الصفر في أي جداء يعطي الصفر.
تمارين للتدرب
- احسب:
(−7) × 6و(−9) × (−3)و8 × (−5). - احسب:
(−2) × 5 × (−3). - حدد إشارة
(−1) × (−2) × (−3) × (−4) × (−5)دون حساب القيمة. - احسب:
(−4)²و−4²و(−3)³. - احسب:
(−0.5) × (−10).
الحلول:
−42و27و−40.- عاملان سالبان (زوجي) فالجداء موجب:
2 × 5 × 3 = 30. - خمسة عوامل سالبة (فردي) فالجداء سالب.
16و−16و−27.5.
الشرح المصوّر
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يقدم الأستاذ أسامة في فيديو «الدرس الأول: جداء عددين نسبيين، رياضيات السنة 3 متوسط» هذا الدرس في نحو تسع عشرة دقيقة، مبينًا أنه بداية دروس السنة الثالثة متوسط، وأنه سيتناول الأعداد النسبية وطريقة جمع وطرح عددين نسبيين المدروسة في السنة الثانية، ثم جداء عددين نسبيين وجداء عدة عوامل نسبية.