كيف نقسم 3 / 4 على 2 / 5؟ هل نقسم البسط على البسط والمقام على المقام؟ أم هناك طريقة أخرى؟ في السنة الثالثة متوسط تتعلم قاعدة بسيطة وأنيقة: قسمة عدد على كسر تساوي الضرب في مقلوبه. وللوصول إليها تتعلم أولًا مقلوب عدد وجداء كسرين. تعرض هذه الصفحة مفهوم المقلوب، ثم جداء كسرين، ثم قسمة كسرين، ثم الحالات الخاصة، ثم التبسيط، وتنتهي بأخطاء متكررة وتمارين محلولة.
مقلوب عدد غير معدوم
مقلوب عدد a غير معدوم هو العدد الذي جداؤه معه يساوي 1. ونرمز له 1 / a.
- مقلوب
5هو1 / 5لأن5 × (1 / 5) = 1. - مقلوب
3 / 4هو4 / 3لأن(3 / 4) × (4 / 3) = 1. - مقلوب
−2هو−1 / 2. - مقلوب
1هو1، ومقلوب−1هو−1.
لإيجاد مقلوب كسر نقلب البسط والمقام. ولا يوجد مقلوب للصفر.
جداء كسرين
نضرب البسط في البسط والمقام في المقام:
(a / b) × (c / d) = (a × c) / (b × d)
مثال: (2 / 3) × (5 / 7) = 10 / 21.
وإشارة الجداء تتبع قاعدة الإشارات: موجب إذا كان عدد العوامل السالبة زوجيًا، وسالب إذا كان فرديًا.
(−2 / 3) × (5 / 7) = −10 / 21.(−2 / 3) × (−5 / 7) = 10 / 21.
التبسيط قبل الضرب
لتجنب الأعداد الكبيرة نبسط بالاختزال المتقاطع: نقسم بسطًا ومقامًا (من كسرين مختلفين) على قاسمهما المشترك.
مثال: (4 / 9) × (3 / 8). نقسم 4 و8 على 4، ونقسم 3 و9 على 3:
(1 / 3) × (1 / 2) = 1 / 6.
قسمة كسرين
القاعدة: لقسمة كسر على كسر آخر نضرب الأول في مقلوب الثاني:
(a / b) ÷ (c / d) = (a / b) × (d / c) = (a × d) / (b × c)
مثال 1: (3 / 4) ÷ (2 / 5) = (3 / 4) × (5 / 2) = 15 / 8.
مثال 2: (2 / 3) ÷ (4 / 9) = (2 / 3) × (9 / 4) = 18 / 12 = 3 / 2، وبالاختزال المتقاطع: (1 / 1) × (3 / 2) = 3 / 2.
لماذا هذه القاعدة صحيحة؟
لأن x ÷ y هو العدد الذي إذا ضربناه في y حصلنا على x. وبما أن y × (1 / y) = 1 فإن القسمة على y تساوي الضرب في 1 / y.
الحالات الخاصة
- قسمة كسر على عدد صحيح: نعتبر العدد كسرًا مقامه
1:(3 / 4) ÷ 5 = (3 / 4) × (1 / 5) = 3 / 20. - قسمة عدد صحيح على كسر:
6 ÷ (2 / 3) = 6 × (3 / 2) = 9. - إشارة القسمة: نفس قاعدة الإشارات:
(−3 / 4) ÷ (2 / 5) = −15 / 8.
ملخص
| العملية | الطريقة |
|---|---|
| مقلوب كسر | نقلب البسط والمقام |
| جداء كسرين | بسط في بسط ومقام في مقام |
| قسمة كسرين | نضرب الأول في مقلوب الثاني |
أخطاء شائعة
- قسمة البسط على البسط والمقام على المقام دون سبب (تصح أحيانًا لكنها لا تصلح قاعدة).
- مقلوب الكسر السالب: نقلب البسط والمقام ونحافظ على الإشارة.
- قلب الكسر الأول بدل الثاني في القسمة.
- نسيان التبسيط في النهاية.
- القول إن للصفر مقلوبًا.
- جمع الكسور بدل ضربها بسبب خلط القواعد.
تمارين للتدرب
- أوجد مقلوب:
7و3 / 5و−4 / 9. - احسب:
(5 / 6) × (3 / 10). - احسب:
(7 / 8) ÷ (21 / 16). - احسب:
4 ÷ (2 / 5). - احسب:
(−3 / 5) ÷ (−9 / 10).
الحلول:
1 / 7و5 / 3و−9 / 4.15 / 60 = 1 / 4.(7 / 8) × (16 / 21) = 112 / 168 = 2 / 3.4 × (5 / 2) = 10.(−3 / 5) × (10 / −9) = 30 / 45 = 2 / 3.
الشرح المصوّر
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يشرح الأستاذ سليم مختارة في فيديو «الدرس 02: مقلوب عدد غير معدوم وضرب وقسمة كسرين، السنة الثالثة متوسط» هذا الدرس في نحو سبع عشرة دقيقة، مبتدئًا بمقلوب عدد غير معدوم ثم جداء كسرين وقسمة كسر على كسر.
وللتوسع، اطلع على هذا الملف في الموقع: