في السنة الثانية متوسط تعلمت كيف تحسب سلسلة عمليات على الأعداد الطبيعية، بأقواس وبدونها. وفي السنة الثالثة متوسط تعود إلى الفكرة نفسها لكن مع الأعداد النسبية، أي الأعداد الموجبة والسالبة معًا. وهذا هو الدرس الثالث من دروس الفصل الأول في الرياضيات: تنظيم وتبسيط حساب. وأهم ما فيه أن تتبع قواعد محددة بالترتيب، لأن أي خطأ في الإشارة أو في الأولوية يغير النتيجة كلها. تعرض هذه الصفحة القاعدة، ثم أولوية العمليات، ثم التعامل مع الأقواس، ثم مثالًا توضيحيًا، ثم تمرينًا تطبيقيًا، وتنتهي بأخطاء شائعة.
ما سلسلة الحسابات؟
سلسلة الحسابات عبارة عددية فيها عدة عمليات (جمع وطرح وضرب وقسمة وقوى) وقد تحتوي على أقواس، مثل:
A = 5 − 3 × (−2) + (−4)
وعلينا تبسيطها لنصل إلى عدد واحد (أو كسر مبسط).
القواعد بالترتيب
عند حساب سلسلة عمليات على أعداد نسبية نتبع هذه الخطوات:
1) احترام أولوية العمليات
- الأقواس أولًا، والأعمق منها قبل الأخرى.
- ثم القوى.
- ثم الضرب والقسمة (من اليسار إلى اليمين).
- ثم الجمع والطرح (من اليسار إلى اليمين).
2) تحديد الإشارة في كل جداء أو قسمة
- جداء (أو حاصل قسمة) عددين من الإشارة نفسها موجب، ومن إشارتين مختلفتين سالب.
- إشارة جداء عدة عوامل تتحدد بعدد العوامل السالبة (زوجي موجب، فردي سالب).
3) التعامل مع الأقواس والإشارات
a + (b)تساويa + b: إشارة زائد أمام القوس لا تغير الإشارات داخله.a − (b)تساويa − b.a + (−b)تساويa − b.a − (−b)تساويa + b: إشارة ناقص أمام القوس تعكس الإشارات داخله.
4) الكتابة في كل مرحلة
نكتب العبارة كاملة في كل سطر مع تعويض ما حسبناه، ولا نحذف شيئًا.
مثال توضيحي
احسب: A = 5 − 3 × (−2) + (−4).
- أولًا الضرب:
3 × (−2) = −6. فتصبح:A = 5 − (−6) + (−4). - نتخلص من الأقواس:
5 − (−6) = 5 + 6و+ (−4) = −4. فتصبح:A = 5 + 6 − 4. - نجمع ونطرح:
A = 11 − 4 = 7.
مثال بقواس وكسور
احسب: B = (−2) × [3 − (4 − 7)] + 10.
- القوس الأعمق:
4 − 7 = −3. 3 − (−3) = 3 + 3 = 6.(−2) × 6 = −12.B = −12 + 10 = −2.
مثال بقوى
احسب: C = (−3)² − 2 × (−4) + 5.
- القوة:
(−3)² = 9. - الضرب:
2 × (−4) = −8، فـ− (−8) = + 8. C = 9 + 8 + 5 = 22.
تمرين تطبيقي
احسب: D = −8 + 3 × (−5 + 2) − (−6).
الحل:
- داخل القوس:
−5 + 2 = −3. - الضرب:
3 × (−3) = −9. D = −8 + (−9) − (−6) = −8 − 9 + 6.D = −17 + 6 = −11.
نصائح للتنظيم
- اكتب كل خطوة في سطر مستقل.
- ضع الأقواس حول كل عدد سالب عند الحساب:
5 − (−3). - راجع كل إشارة قبل الانتقال إلى الخطوة التالية.
- تحقق من النتيجة بآلة حاسبة أو بحساب ثانٍ.
أخطاء شائعة
- حساب الجمع قبل الضرب.
- نسيان عكس الإشارات عند وجود ناقص أمام قوس.
- الخلط بين
−2²(تساوي−4) و(−2)²(تساوي4). - الخطأ في إشارة جداء عددين سالبين.
- ترك العبارة دون تبسيط كامل.
- نسيان الأقواس عند الكتابة في السطر التالي.
تمارين للتدرب
احسب:
6 − 2 × (−3).(−4 + 7) × (−2).−3 − (5 − 9).10 + (−2)² × 3.
الحلول:
6 + 6 = 12.3 × (−2) = −6.−3 − (−4) = −3 + 4 = 1.10 + 4 × 3 = 22.
الشرح المصوّر
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، تقدم قناة ناجحون ومتفوقون في فيديو «الدرس 3: تنظيم وتبسيط حساب في مادة الرياضيات السنة الثالثة متوسط» هذا الدرس في نحو تسع عشرة دقيقة، وهو ثالث درس من دروس الفصل الأول، بالقاعدة ثم مثال توضيحي ثم تمرين تطبيقي.