المعادلات والمتباينات من أهم دروس السنة الثالثة متوسط، وهي تتكرر في الفروض واختبارات الفصل الثالث ثم تعود في شهادة التعليم المتوسط. والجميل فيها أنها تبدو كلغز: «ما العدد الذي إذا ضاعفناه وأضفنا إليه ثلاثة صار سبعة؟». وللحل خطوات منظمة ثابتة. تعرض هذه الصفحة معنى المعادلة، ثم خطوات حلها، ثم المتباينة، ثم قواعدها، ثم تمثيل الحلول، وتنتهي بأخطاء شائعة وتمارين محلولة.
ما المعادلة؟
المعادلة مساواة فيها مجهول نرمز له غالبًا بـ x، وتسمى معادلة لأن فيها طرفين متعادلين (متساويين): الطرف الأول على اليسار والطرف الثاني على اليمين.
مثال: 2x + 3 = 7.
حلّ المعادلة هو إيجاد قيمة x التي تحققها، أي التي تجعل الطرفين متساويين. هنا x = 2 لأن 2 × 2 + 3 = 7.
قواعد حل المعادلة
نحافظ على التعادل بتطبيق العملية نفسها على الطرفين:
- جمع أو طرح العدد نفسه على الطرفين.
- ضرب أو قسمة الطرفين على العدد نفسه غير المعدوم.
ويعبر عن ذلك عمليًا بـ «نقل الحد إلى الطرف الآخر مع تغيير إشارته».
خطوات الحل
- ننشر ونبسط كل طرف.
- نجمع حدود
xفي طرف والأعداد في الطرف الآخر. - نقسم على معامل
x. - نتحقق بالتعويض.
أمثلة
مثال 1: حل 2x − 3 = 7.
2x = 7 + 3 = 10 فـ x = 10 ÷ 2 = 5.
التحقق: 2 × 5 − 3 = 7 صحيح.
مثال 2: حل 3(x + 1) = 2x + 8.
ننشر: 3x + 3 = 2x + 8. ننقل: 3x − 2x = 8 − 3 فـ x = 5.
التحقق: الطرف الأيسر 3 × 6 = 18، والأيمن 10 + 8 = 18.
مثال 3: حل 5x + 2 = 5x + 7.
ننقل: 5x − 5x = 7 − 2 فـ 0 = 5، وهذا مستحيل. فالمعادلة لا حل لها.
المتباينة
المتباينة علاقة فيها مجهول وإشارة مقارنة: < (أصغر تمامًا) أو > (أكبر تمامًا) أو ≤ (أصغر أو يساوي) أو ≥ (أكبر أو يساوي).
مثال: 3x − 5 > 7. وحلّها هو مجموعة كل القيم التي تحققها، وغالبًا لا تكون قيمة واحدة بل عددًا لا نهائيًا من القيم.
قواعد حل المتباينة
- جمع أو طرح العدد نفسه على الطرفين: لا يغير اتجاه المتباينة.
- الضرب أو القسمة بعدد موجب: لا يغير الاتجاه.
- الضرب أو القسمة بعدد سالب: يقلب اتجاه المتباينة.
والقاعدة الثالثة هي أهم نقطة وأكثر مواضع الخطأ.
أمثلة
مثال 4: حل 3x − 5 > 7.
3x > 12 فـ x > 4. الحلول: كل الأعداد الأكبر من 4.
مثال 5: حل −2x ≥ 6.
نقسم على −2 وهو عدد سالب، فنقلب الاتجاه: x ≤ −3.
مثال 6: حل 4x + 1 ≤ 2x + 9.
4x − 2x ≤ 9 − 1 فـ 2x ≤ 8 فـ x ≤ 4.
تمثيل الحلول على مستقيم مدرج
- بالنسبة إلى
x > 4: نرسم مستقيمًا مدرجًا، ونضع دائرة مفرغة عند4(لأن4ليست من الحلول)، ونظلل جهة اليمين (القيم الأكبر). - بالنسبة إلى
x ≤ −3: دائرة ممتلئة عند−3(لأنه من الحلول)، ونظلل جهة اليسار (القيم الأصغر).
والقاعدة: الإشارة ≤ و≥ تعني نقطة ممتلئة، والإشارة < و> تعني نقطة مفرغة.
التحقق
- من أجل معادلة: نعوض القيمة فنجد المساواة صحيحة.
- من أجل متباينة: نجرب قيمة داخل المجال (مثلًا
5للمتباينةx > 4) ونتأكد أنها تحقق المتباينة الأصلية، ونجرب قيمة خارجها فلا تحققها.
أخطاء شائعة
- نسيان تغيير الإشارة عند نقل حد إلى الطرف الآخر.
- عدم قلب اتجاه المتباينة عند القسمة على عدد سالب.
- خطأ في النشر:
3(x + 1) = 3x + 1خطأ. - كتابة حل متباينة على أنه عدد واحد.
- الخلط بين الدائرة الممتلئة والمفرغة.
- نسيان التحقق.
تمارين للتدرب
- حل:
4x + 5 = 21. - حل:
7x − 3 = 4x + 9. - حل:
2(x − 4) = x + 3. - حل:
5x − 2 < 18. - حل:
−3x ≤ 12.
الحلول:
4x = 16فـx = 4.3x = 12فـx = 4.2x − 8 = x + 3فـx = 11.5x < 20فـx < 4.- نقسم على
−3فنقلب:x ≥ −4.
الشرح المصوّر
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يشرح الأستاذ سليم مختارة في فيديو «المعادلات والمتباينات من الألف إلى الياء للسنة الثالثة متوسط» هذه الحصة المخصصة لمراجعة اختبار الفصل الثالث في نحو اثنتين وعشرين دقيقة، بعد حصتين عن النشر والتبسيط، ويبدأ بالمعادلات ثم ينتقل إلى المتباينات.
وللتدرب على الموضوع، اطلع على هذه الملفات في الموقع: