أي الكسرين أكبر: 3 / 4 أم 5 / 7؟ لا يمكنك أن تعرف بالنظر مباشرة، فالبسط الأكبر لا يعني دائمًا كسرًا أكبر، والمقام الأكبر لا يعني دائمًا كسرًا أصغر. ومن أجل ذلك يخصص برنامج السنة الثالثة متوسط درسًا كاملًا لـ مقارنة كسرين في جميع الحالات الممكنة. وهو درس يعتمد على ما تعرفه من الكسور المتكافئة وتوحيد المقامات، ويضيف حالة الكسور المختلفة الإشارة. تعرض هذه الصفحة الحالات الأربع للمقارنة، ثم طريقة توحيد المقامات، ثم المقارنة بالكتابة العشرية، ثم الكسور السالبة، وتنتهي بأخطاء متكررة وتمارين محلولة.
تذكير: الكسر الناطق
الكسر a / b هو الناتج عن قسمة a على b (b غير معدوم). والكسور المتكافئة هي التي لها القيمة نفسها: 1 / 2 = 2 / 4 = 3 / 6، ونحصل عليها بضرب البسط والمقام في العدد نفسه أو قسمتهما عليه.
الحالة الأولى: مقامان متساويان
إذا كان لكسرين المقام نفسه (الموجب)، فالأكبر هو الذي له البسط الأكبر.
مثال: 7 / 9 و5 / 9، البسطان 7 و5، فـ 7 / 9 > 5 / 9.
الحالة الثانية: بسطان متساويان
إذا كان لكسرين البسط نفسه (الموجب)، فالأكبر هو الذي له المقام الأصغر، لأن الوحدة تقسم إلى أجزاء أقل فتكون كل حصة أكبر.
مثال: 3 / 5 و3 / 8، فـ 3 / 5 > 3 / 8.
الحالة الثالثة: مقامان مختلفان وبسطان مختلفان
هنا نوحد المقامين أولًا لنعود إلى الحالة الأولى.
الطريقة: نضرب بسط كل كسر ومقامه في مقام الكسر الآخر (أو في المضاعف المشترك الأصغر للمقامين).
مثال 1: قارن 3 / 4 و5 / 7.
المضاعف المشترك للمقامين 4 و7 هو 28:
3 / 4 = (3 × 7) / (4 × 7) = 21 / 28.5 / 7 = (5 × 4) / (7 × 4) = 20 / 28.
بما أن 21 > 20 فإن 3 / 4 > 5 / 7.
مثال 2: قارن 5 / 6 و7 / 9.
المضاعف المشترك الأصغر لـ 6 و9 هو 18:
5 / 6 = 15 / 18.7 / 9 = 14 / 18.
إذن 5 / 6 > 7 / 9.
المقارنة بالواحد
نقارن كل كسر بالعدد 1:
- إذا كان البسط أصغر من المقام فالكسر أصغر من
1. - إذا كان البسط أكبر من المقام فالكسر أكبر من
1.
مثال: قارن 7 / 8 و11 / 10: الأول أصغر من 1 لأن بسطه أصغر من مقامه، والثاني أكبر من 1، فـ 11 / 10 > 7 / 8 دون توحيد المقامين.
المقارنة بالكتابة العشرية
نحول كل كسر إلى عدد عشري بالقسمة:
3 / 4 = 0.75.5 / 7 ≈ 0.714.
وبما أن 0.75 > 0.714 فإن 3 / 4 > 5 / 7. وهذه الطريقة سريعة مع الآلة الحاسبة، لكنها قد تعطي كتابات لا نهائية.
الكسور بإشارات مختلفة
- موجب وسالب: أي كسر موجب أكبر من أي كسر سالب. فـ
1 / 100 > −5 / 2. - سالبان: نقارن القيمتين المطلقتين ثم نعكس الترتيب: الأكبر هو الذي قيمته المطلقة أصغر.
مثال: قارن −3 / 4 و−5 / 7.
القيمتان المطلقتان: 3 / 4 = 21 / 28 و5 / 7 = 20 / 28، فالأولى أكبر. إذن −3 / 4 < −5 / 7، لأن الأكثر سلبية هو الأصغر.
ترتيب عدة كسور
نوحد مقامات كل الكسور ثم نرتب البسوط.
مثال: رتب تصاعديًا 1 / 2 و2 / 3 و3 / 4.
المضاعف المشترك 12: 6 / 12 و8 / 12 و9 / 12. الترتيب: 1 / 2 < 2 / 3 < 3 / 4.
أخطاء شائعة
- القول إن الكسر ذا المقام الأكبر هو الأكبر.
- مقارنة البسطين فقط دون النظر إلى المقامين.
- جمع البسطين والمقامين عند التوحيد.
- في الكسور السالبة: القول إن
−3 / 4 > −5 / 7لأن3 / 4 > 5 / 7. - ضرب البسط وحده في العدد عند التكافؤ.
- نسيان تبسيط الكسر بعد المقارنة.
تمارين للتدرب
- قارن:
4 / 5و6 / 7. - قارن:
5 / 12و5 / 9. - رتب تنازليًا:
2 / 3و3 / 5و7 / 10. - قارن:
−2 / 3و−3 / 4. - قارن
9 / 8و4 / 5بالواحد.
الحلول:
28 / 35و30 / 35، فـ4 / 5 < 6 / 7.- البسط نفسه والمقام الأصغر
9فـ5 / 12 < 5 / 9. - بالمقام
30:20 / 30و18 / 30و21 / 30. الترتيب:7 / 10 > 2 / 3 > 3 / 5. 2 / 3 = 8 / 12و3 / 4 = 9 / 12، فـ−2 / 3 > −3 / 4.9 / 8 > 1و4 / 5 < 1، فـ9 / 8 > 4 / 5.
الشرح المصوّر
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يشرح الأستاذ سليم مختارة في فيديو «الدرس 03: مقارنة كسرين في جميع الحالات الممكنة، السنة الثالثة متوسط» هذا الدرس في نحو ثلاث وعشرين دقيقة، متتبعًا كل الحالات الممكنة لمقارنة كسرين بالتفصيل.
وللتوسع، اطلع على هذا الملف في الموقع: