في السنوات الماضية عرفت الأعداد الطبيعية ثم الأعداد النسبية ثم الأعداد العشرية، وفي السنة الثالثة متوسط تتعرف على مجموعة أوسع تضم كل ما سبق: الأعداد الناطقة. هي الأعداد التي نستطيع كتابتها على شكل كسر، وهي أساس العمليات على الكسور التي تعتمد عليها بقية الرياضيات. تعرض هذه الصفحة التعريف وشرط المقام، ثم المجموعات العددية وعلاقتها ببعض، ثم العمليات الأربع والاختزال، ثم المقارنة، وتنتهي بأخطاء متكررة وتمارين محلولة.
ما هو العدد الناطق؟
العدد الناطق هو كل عدد يمكن كتابته على الشكل:
a / b أو −a / b حيث a و b عددان صحيحان و b ≠ 0
والشرط الأخير أهم ما في التعريف: المقام لا يساوي صفرًا أبدًا، لأن القسمة على الصفر غير معرّفة في الرياضيات. وعليك في أي تمرين فيه مجهول في المقام أن تكتب أنه لا يساوي صفرًا، كأن تكتب x ≠ 0 أو x − 2 ≠ 0.
المجموعات العددية
تتداخل المجموعات العددية، فكل مجموعة تحوي سابقتها:
- الأعداد الطبيعية
ℕ:0 ; 1 ; 2 ; 3 ; … - الأعداد الصحيحة
ℤ: تضم الطبيعية وأضدادها… ; −2 ; −1 ; 0 ; 1 ; 2 ; … - الأعداد العشرية
𝔻: التي لها كتابة عشرية منتهية كـ0.75و−3.2. - الأعداد الناطقة
ℚ: تضم كل ما سبق.
فكل عدد صحيح ناطق لأن 5 = 5 / 1، وكل عدد عشري ناطق لأن 0.75 = 75 / 100 = 3 / 4. وهناك أعداد ليست ناطقة، منها π و √2، وستتعرف عليها لاحقًا.
الاختزال
نختزل كسرًا بقسمة بسطه ومقامه على عدد مشترك غير معدوم، حتى نصل إلى كسر غير قابل للاختزال، وهو الذي لا يوجد عدد يقسم بسطه ومقامه معًا غير 1. فنقسم على القاسم المشترك الأكبر: 18 / 24 = 3 / 4 بقسمة الطرفين على 6.
وموضع الإشارة السالبة لا يغير القيمة: −a / b = a / (−b) = −(a / b). والأفضل أن نكتب الإشارة السالبة أمام الكسر أو في بسطه.
الجمع والطرح
- المقامان متساويان: نجمع البسطين ونبقي المقام:
a / c + b / c = (a + b) / c. - المقامان مختلفان: نوحد المقامين أولًا بإيجاد مضاعف مشترك، ثم نجمع.
أمثلة:
2 / 3 + 5 / 6 = 4 / 6 + 5 / 6 = 9 / 6 = 3 / 2.3 / 4 − 5 / 6 = 9 / 12 − 10 / 12 = −1 / 12.
الضرب والقسمة
- الضرب: نضرب البسطين معًا والمقامين معًا:
a / b × c / d = (a × c) / (b × d). ويستحسن اختزال العوامل المشتركة قبل الضرب. - القسمة: نضرب في مقلوب المقسوم عليه:
a / b ÷ c / d = a / b × d / cمعc ≠ 0.
أمثلة:
(−2 / 5) × (15 / 4) = −30 / 20 = −3 / 2.(3 / 7) ÷ (6 / 14) = 3 / 7 × 14 / 6 = 42 / 42 = 1.
المقارنة
- المقامان موجبان ومتساويان: نقارن البسطين، والأكبر بسطًا أكبر.
- المقامان مختلفان: نوحد المقامين ثم نقارن.
- كل عدد ناطق موجب أكبر من كل عدد ناطق سالب.
مثال: لنقارن −3 / 4 و −5 / 6. نوحد المقام 12: −9 / 12 و −10 / 12. وبما أن −9 > −10 فإن −3 / 4 > −5 / 6.
أخطاء شائعة
- نسيان شرط المقام غير المعدوم، أو كتابة مقام يساوي صفرًا.
- جمع المقامين:
1 / 2 + 1 / 3 = 2 / 5خطأ، والصواب5 / 6. - ترك الكسر الناتج قابلًا للاختزال.
- الخطأ في إشارة الناتج عند ضرب عددين أحدهما سالب.
- في القسمة، قلب الكسر الأول بدل الثاني.
- مقارنة كسور مقاماتها مختلفة بمقارنة البسطين فقط. فـ
3 / 4أكبر من5 / 8رغم أن3 < 5، لأن3 / 4 = 6 / 8.
تمارين للتدرب
احسب واختزل:
1 / 2 + 1 / 35 / 6 − 3 / 4(−3 / 8) × (4 / 9)(5 / 6) ÷ (10 / 3)
قارن: 5. −2 / 3 و −3 / 4.
الحلول:
3 / 6 + 2 / 6 = 5 / 6.10 / 12 − 9 / 12 = 1 / 12.−12 / 72 = −1 / 6.5 / 6 × 3 / 10 = 15 / 60 = 1 / 4.−8 / 12و−9 / 12، و−8 > −9فـ−2 / 3 > −3 / 4.
الشرح المصوّر وملفات التمارين
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، تشرح قناة سوبر وان في فيديو «الأعداد الناطقة: أتعرف على الأعداد الناطقة» الدرس في نحو عشر دقائق: تعريف العدد الناطق بالشكل a / b وشرط b ≠ 0، ثم تذكير بالأعداد الطبيعية وتوسعها إلى المجموعات الأكبر.
وللتدرب على تمارين حقيقية، اطلع على هذه الملفات في الموقع: