النشر والتبسيط من أهم مقاطع الحساب الحرفي في السنة الثالثة متوسط، ومنه تنطلق المتطابقات الشهيرة في السنة الرابعة والجبر في الثانوي. ولكي تتقن هذا الدرس يجب أن تكون متمكنًا من أساسيات السنوات السابقة: خاصية التوزيع، وقواعد الإشارات، والقوى، والعبارة الحرفية. تعرض هذه الصفحة تذكيرًا بهذه الأساسيات، ثم النشر بنوعيه البسيط والمضاعف، ثم تجميع الحدود المتشابهة وترتيب العبارة، ثم التفسير الهندسي بالمساحات، وتنتهي بأخطاء متكررة وتمارين محلولة.
أساسيات لا بد منها
- الضرب المضمر: عدد أو حرف ملتصق بقوس يعني ضربًا:
3 (x + 2)تعني3 × (x + 2). - قواعد الإشارات في الضرب: جداء عددين لهما الإشارة نفسها موجب، وجداء عددين مختلفي الإشارة سالب. فـ
(−2) × (−3) = 6و(−2) × 3 = −6. - القوى:
x²تعنيx × x، وx × x² = x³. - الحدود المتشابهة: حدود لها الجزء الحرفي نفسه، مثل
3xو−5x، أو2x²و7x².
النشر البسيط (التوزيع)
خاصية التوزيع: k (a + b) = k a + k b وk (a − b) = k a − k b. وننشر بضرب العدد خارج القوس في كل حد داخله:
3 (x + 4) = 3x + 12−2 (x − 5) = −2x + 10x (x + 3) = x² + 3x−(a − b + 2) = −a + b − 2
وفي الأخيرة قاعدة مهمة: إشارة ناقص أمام القوس تغيّر إشارة كل حد داخله.
النشر المضاعف
لنشر جداء مجموعين أو فرقين نضرب كل حد في الأول بكل حد في الثاني:
(a + b)(c + d) = a c + a d + b c + b d
مثال: (x + 2)(x + 3) = x × x + x × 3 + 2 × x + 2 × 3 = x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6.
ومثال بإشارات سالبة: (x − 4)(2x + 1) = 2x² + x − 8x − 4 = 2x² − 7x − 4. وانتبه إلى أن الحد −4 × 2x = −8x وأن −4 × 1 = −4.
تبسيط عبارة وتجميع الحدود المتشابهة
بعد النشر نجمع الحدود المتشابهة بجمع معاملاتها:
3x + 5x = 8x7a − 2a = 5a2x² + 3x − x² + 4x = x² + 7x
ولا نجمع حدودًا مختلفة الجزء الحرفي: x² + x لا تساوي 2x²، و3x + 5 لا تبسط أكثر.
مثال كامل. بسّط A = 2 (x + 3) − (x − 4) + 3x. ننشر: A = 2x + 6 − x + 4 + 3x. نجمع: A = (2x − x + 3x) + (6 + 4) = 4x + 10.
ترتيب العبارة
نرتب حدود عبارة حرفية عادة تنازليًا حسب القوى: 5 − 3x + x² ترتب إلى x² − 3x + 5. وهذا يسهل المقارنة وقراءة النتيجة.
التفسير الهندسي
يمكن أن نرى النشر المضاعف بمساحة مستطيل أبعاده (x + 2) و(x + 3). نقسمه إلى أربعة مستطيلات: مربع مساحته x²، ومستطيلان مساحتاهما 3x و2x، ومستطيل صغير مساحته 6. المساحة الكلية x² + 5x + 6، وهي نتيجة النشر نفسها.
قيمة العبارة قبل النشر وبعده
لحساب قيمة عبارة من أجل x = 2، يمكن التعويض في الصيغة المنشورة أو الأصلية، والنتيجة نفسها. مثال: (x + 2)(x + 3) من أجل x = 2 تعطي 4 × 5 = 20، والصيغة المنشورة x² + 5x + 6 تعطي 4 + 10 + 6 = 20. وهذه طريقة مفيدة للتحقق من النشر.
أخطاء شائعة
- نشر العدد على الحد الأول فقط:
3 (x + 4) = 3x + 4خطأ، والصواب3x + 12. - الخطأ في الإشارة عند النشر مع ناقص:
−(a − b) = −a + bوليس−a − b. - نسيان أحد الجداءات الأربعة في النشر المضاعف.
- جمع حدود غير متشابهة:
x² + x = 2x²خطأ. - الخلط بين
x × x = x²وx + x = 2x. - ترك العبارة غير مبسطة أو غير مرتبة.
تمارين للتدرب
- انشر:
5 (2x − 3)و−3 (x + 4). - انشر وبسّط:
(x + 5)(x − 2). - بسّط:
A = 3 (x − 1) − 2 (x + 2) + x. - انشر:
(2x − 1)(x + 3). - تحقق من نشر
(x + 1)(x + 4) = x² + 5x + 4من أجلx = 3.
الحلول:
10x − 15و−3x − 12.x² − 2x + 5x − 10 = x² + 3x − 10.A = 3x − 3 − 2x − 4 + x = 2x − 7.2x² + 6x − x − 3 = 2x² + 5x − 3.- الطرف الأيسر
4 × 7 = 28، والأيمن9 + 15 + 4 = 28. النشر صحيح.
الشرح المصوّر
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يشرح الأستاذ أسامة في فيديو «شرح مفصل لدرس النشر والتبسيط للسنة 3 متوسط من A إلى Z» المقطع في نحو إحدى عشرة دقيقة، مبتدئًا بتذكير التلميذ بالأساسيات التي يجب أن يعرفها قبل النشر والتبسيط.
وللتدرب على تمارين حقيقية، اطلع على هذه الملفات في الموقع: