من أبسط الدوال التي تعرفها منذ المتوسط الدالة f(x) = 2x + 1 والدالة g(x) = x²، وهي أمثلة على صنف كبير من الدوال اسمه كثيرات الحدود. تسميتها تأتي من أنها عبارة عن مجموع عدة حدود، كل حد منها جداء عدد في قوة للمتغير. ودرس الدوال كثيرات الحدود هو أحد الدروس الأولى التي تقدم في السنة الثانية ثانوي للشعب العلمية، وتبنى عليه دراسة المعادلات من الدرجة الثانية والتحليل ودراسة اتجاه التغير والنهايات في السنة الثالثة. تعرض هذه الصفحة تعريف كثير الحدود، ثم درجته، ثم حالاته الخاصة، ثم تساوي كثيري حدود، ثم العمليات عليها، ثم جذر كثير الحدود، وتنتهي بأخطاء شائعة وتمارين محلولة.
تعريف كثير الحدود
نسمي دالة كثير حدود كل دالة f معرفة على مجموعة الأعداد الحقيقية R وتكتب على الشكل:
f(x) = a_n x^n + a_(n-1) x^(n-1) + ... + a_1 x + a_0
حيث n عدد طبيعي، والأعداد a_0 و a_1 ... a_n أعداد حقيقية تسمى المعاملات.
ومن هذا التعريف نفهم أمرين مهمين:
- الدالة كثير الحدود معرفة على كل
R، فمجموعة تعريفها لا تحتاج إلى أي شرط. - لا يظهر فيها جذر تربيعي لمتغير ولا كسر مقامه يحوي المتغير، لأن ذلك يفرض استثناء بعض القيم. فالدالة
√xليست كثير حدود لأنها غير معرفة على الأعداد السالبة، والدالة1 / xليست كثير حدود لأنها غير معرفة عند0.
أمثلة على كثيرات حدود: 3x² - 5x + 1 و x³ - 7 و 2x و -4.
وأمثلة على دوال ليست كثيرات حدود: √(x + 1) و 2 / (x - 3) و (x² + 1) / x.
درجة كثير الحدود
درجة كثير الحدود هي أكبر أس للمتغير يظهر في حد معامله غير معدوم.
5x³ - 2x + 1من الدرجة3.x⁷ + xمن الدرجة7.6من الدرجة0(دالة ثابتة غير معدومة).- كثير الحدود المعدوم
0ليس له درجة.
حالات خاصة
- كثير حدود من الدرجة 0: الدالة الثابتة
f(x) = aمعaغير معدوم. - من الدرجة 1: الدالة التآلفية
f(x) = ax + bمعaغير معدوم، ومنحناها مستقيم. - من الدرجة 2:
f(x) = ax² + bx + cمعaغير معدوم، ومنحناها قطع مكافئ. - وحيد حد: كثير حدود له حد واحد فقط، مثل
4x³.
تساوي كثيري حدود
يتساوى كثيرا حدود P و Q إذا كان P(x) = Q(x) لكل عدد حقيقي x. والمبرهنة الأساسية: يتساوى كثيرا حدود إذا وفقط إذا كان لهما الدرجة نفسها وكان معامل كل قوة في الأول مساويًا لمعامل القوة نفسها في الثاني.
وهذه الخاصية تسمح بحل مسائل المطابقة، أي إيجاد أعداد مجهولة تجعل عبارتين متطابقتين.
مثال محلول
أوجد الأعداد a و b و c بحيث، لكل x:
x² + 3x + 2 = a(x + 1)² + b(x + 1) + c
الحل: ننشر الطرف الأيمن:
a(x + 1)² + b(x + 1) + c = ax² + (2a + b)x + (a + b + c)
نطابق المعاملات مع x² + 3x + 2:
- معامل
x²:a = 1. - معامل
x:2a + b = 3، إذنb = 1. - الحد الثابت:
a + b + c = 2، إذنc = 0.
فتكون a = 1 و b = 1 و c = 0.
العمليات على كثيرات الحدود
إذا كان P و Q كثيري حدود فإن كلا من P + Q و P - Q و P × Q كثير حدود أيضًا.
- المجموع والفرق: نجمع أو نطرح المعاملات المتناظرة. درجة المجموع أصغر من أو تساوي أكبر الدرجتين. مثال:
(x² + 3x) + (-x² + 5)يساوي3x + 5وهو من الدرجة 1 رغم أن الحدين من الدرجة 2. - الجداء: ننشر ونجمع الحدود المتشابهة. درجة الجداء تساوي مجموع درجتي العاملين (في حالة عدم انعدام أحدهما).
- مثال:
(x + 2)(x² - x + 1)يساويx³ + x² - x + 2، ودرجته 3، وهي مجموع الدرجتين 1 و 2.
أما القسمة فلا تعطي دائمًا كثير حدود، كما في 1 / x.
جذر كثير الحدود
نقول إن العدد الحقيقي α جذر (أو صفر) لكثير الحدود P إذا كان P(α) = 0.
مثال: P(x) = x² - 5x + 6. نجد P(2) = 4 - 10 + 6 = 0 و P(3) = 9 - 15 + 6 = 0. إذن 2 و 3 جذران للدالة P، ويكتب التحليل P(x) = (x - 2)(x - 3).
العلاقة بين الجذر والتحليل
إذا كان α جذرًا للدالة P، فإن P(x) يقبل التحليل إلى (x - α) Q(x) حيث Q كثير حدود درجته تقل بواحد عن درجة P. وهذه الخاصية تتيح تحليل كثيرات الحدود من الدرجة 3 وما فوق.
مثال: P(x) = x³ - 6x² + 11x - 6. نجرب 1: P(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0، إذن 1 جذر. نجد P(x) = (x - 1)(x² - 5x + 6) = (x - 1)(x - 2)(x - 3). فجذور P هي 1 و 2 و 3.
أخطاء شائعة
- اعتبار
√xأو1 / xكثيري حدود. - إهمال اشتراط أن يكون المعامل الأكبر غير معدوم عند تحديد الدرجة.
- نسيان أن درجة المجموع قد تنخفض عن درجة العاملين.
- إيجاد المعاملات المجهولة دون نشر الطرفين.
- الخلط بين جذر كثير الحدود وجذر العدد، فالجذر هنا عدد يعدم الدالة.
- القول إن
0من الدرجة0، والصحيح أنه بلا درجة.
تمارين للتدرب
- حدد درجة
f(x) = 4x⁵ - x² + 7. - هل
g(x) = (x² + 1) / 3كثير حدود؟ علل. - أوجد
aوbبحيثx² + 4x + 7 = (x + a)² + b. - بين أن
2جذر لكثير الحدودx³ - 8.
الحلول:
- الدرجة
5. - نعم، لأن
g(x) = x² / 3 + 1 / 3مجموع حدود كل منها عدد في قوة للمتغير. - ننشر:
(x + a)² + b = x² + 2ax + a² + b. نطابق:2a = 4أيa = 2، وa² + b = 7أيb = 3. 2³ - 8 = 0.
الشرح المصوّر
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يقدم الأستاذ سليم مختارة في فيديو «الدرس 11: الدوال كثيرات الحدود للسنة الثانية ثانوي، الشعب العلمية» هذا الدرس في نحو اثنتين وعشرين دقيقة، ويتناول فيه تعريف كثير الحدود وتساوي كثيري حدود والعمليات عليها وجذر كثير الحدود، ويؤجل بقية العناصر إلى حصص لاحقة.