قبل أن ندرس أي دالة، نسأل أولًا: لأي الأعداد يمكننا أن نحسب صورتها؟ قد تكون هذه الأعداد كل الأعداد الحقيقية، وقد تكون جزءًا منها فقط، لأن بعض العمليات لا معنى لها لبعض القيم، كالقسمة على الصفر أو أخذ الجذر التربيعي لعدد سالب. وهذا هو موضوع مجموعة التعريف، وهو من أول دروس السنة الثانية ثانوي في الدوال العددية، ولا يمكن أن تنجح في دراسة الدالة (اتجاه التغير، النهايات، التمثيل البياني) إذا أخطأت في تعيينها. تعرض هذه الصفحة تعريف مجموعة التعريف وكتابتها على شكل مجالات، ثم القواعد الأساسية، ثم أمثلة مرتبة من الأسهل إلى الأصعب، وتنتهي بأخطاء شائعة وتمارين محلولة.
ما مجموعة التعريف؟
مجموعة تعريف الدالة f، ونرمز لها بـ Df، هي مجموعة كل الأعداد الحقيقية x التي يمكن حساب f(x) من أجلها.
كتابة المجموعات: المجالات
نكتب مجموعات الأعداد الحقيقية على شكل مجالات:
| الكتابة | معناها |
|---|---|
[a ; b] |
الأعداد بين a و b بما فيهما a و b |
]a ; b[ |
الأعداد بين a و b دون a ودون b |
[a ; +∞[ |
الأعداد الأكبر من أو تساوي a |
]-∞ ; a[ |
الأعداد الأصغر تمامًا من a |
R - {a} |
كل الأعداد ما عدا a |
والرمز ∪ يعني الاتحاد: مثلًا ]-∞ ; 3[ ∪ ]3 ; +∞[ هو كل الأعداد الحقيقية ما عدا 3.
القواعد الأساسية
| شكل الدالة | الشرط على x |
|---|---|
| كثير حدود | لا شرط، Df = R |
كسر A(x) / B(x) |
B(x) يختلف عن 0 |
جذر √(A(x)) |
A(x) أكبر من أو يساوي 0 |
1 / √(A(x)) |
A(x) أكبر تمامًا من 0 |
وإذا اجتمعت عدة عمليات في عبارة واحدة، نكتب شرط كل عملية على حدة ثم نأخذ ما يحقق الشروط كلها معًا (تقاطع الشروط).
أمثلة محلولة
المثال 1: كثير حدود
f(x) = 3x² - 5x + 1. لا يوجد كسر ولا جذر، إذن Df = R.
المثال 2: دالة كسرية
f(x) = (2x + 1) / (x - 3). المقام يجب ألا ينعدم: x - 3 يختلف عن 0 أي x يختلف عن 3. إذن:
Df = ]-∞ ; 3[ ∪ ]3 ; +∞[.
المثال 3: مقام من الدرجة الثانية
f(x) = 1 / (x² - 5x + 6). نبحث عن القيم التي تعدم المقام: x² - 5x + 6 = 0 يكافئ (x - 2)(x - 3) = 0 أي x = 2 أو x = 3. إذن:
Df = R - {2 ; 3}.
المثال 4: جذر تربيعي
f(x) = √(2x - 4). الشرط: 2x - 4 ≥ 0 أي x ≥ 2. إذن:
Df = [2 ; +∞[.
المثال 5: جذر في المقام
f(x) = 1 / √(x - 1). هنا نحتاج إلى شرط أقوى: ما تحت الجذر يجب أن يكون موجبًا تمامًا لأنه في المقام. x - 1 > 0 أي x > 1. إذن:
Df = ]1 ; +∞[.
المثال 6: جذر وكسر معًا
f(x) = √(x + 3) / (x - 1). لدينا شرطان:
- الجذر:
x + 3 ≥ 0أيx ≥ -3. - المقام:
x - 1يختلف عن0أيxيختلف عن1.
نأخذ الأعداد التي تحقق الشرطين معًا: من -3 إلى ما لا نهاية مع استثناء 1. إذن:
Df = [-3 ; 1[ ∪ ]1 ; +∞[.
المثال 7: متراجحة من الدرجة الثانية تحت الجذر
f(x) = √(x² - 4). الشرط: x² - 4 ≥ 0 أي (x - 2)(x + 2) ≥ 0. ندرس إشارة الجداء: يكون موجبًا أو معدومًا خارج الجذرين. إذن:
Df = ]-∞ ; -2] ∪ [2 ; +∞[.
نلاحظ أن الجواب ليس [-2 ; 2]، وهو خطأ شائع.
المثال 8: دالة مركبة
f(x) = √(1 / (x - 1)). نريد أن يكون الكسر معرفًا وأن يكون موجبًا. x - 1 يختلف عن 0، و 1 / (x - 1) ≥ 0 يعني x - 1 > 0 أي x > 1. إذن Df = ]1 ; +∞[.
خطوات عامة لتعيين مجموعة التعريف
- حدد العمليات الحساسة في العبارة: قسمة، جذر تربيعي.
- اكتب شرطًا لكل عملية.
- حل كل شرط على حدة.
- خذ ما يحقق الشروط جميعها.
- اكتب الجواب على شكل مجال أو اتحاد مجالات.
أخطاء شائعة
- نسيان استثناء قيم المقام التي تعدمه.
- وضع شرط «أكبر من أو يساوي» على المقام بدل شرط «يختلف عن الصفر» في الكسور.
- نسيان الفرق بين الجذر في البسط (الشرط أكبر من أو يساوي) والجذر في المقام (الشرط أكبر تمامًا).
- كتابة المجال مغلقًا عند قيمة تعدم المقام.
- حل
x² ≥ 4فينتجx ≥ 2فقط ونسيانx ≤ -2. - ترك الجواب غير مبسط أو بلا مجالات.
تمارين للتدرب
- عين مجموعة تعريف
f(x) = 5 / (2x - 6). - عين مجموعة تعريف
g(x) = √(5 - x). - عين مجموعة تعريف
h(x) = 1 / (x² - 9). - عين مجموعة تعريف
k(x) = √(x - 2) / (x - 5).
الحلول:
2x - 6يختلف عن0أيxيختلف عن3، فـDf = R - {3}.5 - x ≥ 0أيx ≤ 5، فـDg = ]-∞ ; 5].x² - 9 = 0عندx = 3أوx = -3، فـDh = R - {-3 ; 3}.x ≥ 2وxيختلف عن5، فـDk = [2 ; 5[ ∪ ]5 ; +∞[.
الشرح المصوّر
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يقدم الأستاذ جوفر في الرياضيات في فيديو «الدرس الأول للسنة الثانية ثانوي: مجموعة التعريف» هذا الدرس في نحو خمس وعشرين دقيقة، وهو الحلقة الأولى من سلسلته للسنة الثانية ثانوي، يبدأ فيه بمجموعة التعريف ويطبق التعاريف والخواص على الأمثلة.