يعد تركيب الدوال من أكثر دروس وحدة عموميات حول الدوال إحراجا لتلاميذ السنة الثانية ثانوي، والسبب في الغالب حفظ التعريف دون فهم ترتيب التطبيق. والمفتاح البسيط: الدالة الداخلية تطبق أولا. تعرض الصفحة التعريف والمجموعة وأمثلة محلولة، وتنتهي بتمارين.
التعريف
لتكن f دالة مجموعة تعريفها Df، وg دالة مجموعة تعريفها Dg. مركب الدالة g متبوعة بالدالة f هو الدالة التي نرمز لها f ∘ g (تقرأ: f دائرة g)، وتعرف بالعبارة:
(f ∘ g)(x) = f ( g(x) )
ولا يخلط بين الرمز الدائري ∘ ورمز الضرب: هو رمز التركيب.
كيف نقرأ ونحسب؟
نتصور أن لدينا صندوقين متداخلين:
- الدالة التي تطبق أولا (
f) تكتب من الخارج. - الدالة التي تطبق ثانيا (
g) تكتب في الداخل، وتأخذ هي المتغيرx.
فنحسب أولا g(x) ثم نضعها داخل f. وبعبارة أخرى: صورة x بالدالة g تصبح المتغير الذي تطبق عليه f.
مجموعة تعريف المركب
لكي تكون (f ∘ g)(x) معرفة يجب تحقق شرطين معا:
xينتمي إلىDg، وg(x)ينتمي إلىDf.
وتكتب مجموعة التعريف: D = { x ∈ Dg ; g(x) ∈ Df }.
لاحظ أن الشرط الأول يتعلق بالدالة الداخلية، والثاني بالدالة الخارجية.
مثال 1
لتكن f(x) = sqrt(x) وg(x) = x - 3. اكتب f ∘ g وعين مجموعة تعريفها.
(f ∘ g)(x) = f(g(x)) = sqrt(x - 3).- الشرط الأول:
x ∈ R(Dg = R). - الشرط الثاني:
g(x) = x - 3 ≥ 0لأنDf = [0 , +inf[، أيx ≥ 3. - إذن
D = [3 , +inf[.
مثال 2
لتكن f(x) = 1/x وg(x) = x² - 4.
(f ∘ g)(x) = 1 / (x² - 4).- الشرط:
g(x) ≠ 0لأنDf = R*، أيx² - 4 ≠ 0، فـx ≠ 2وx ≠ -2. D = R - {-2 , 2}.
التركيب ليس تبادليا
بصفة عامة f ∘ g تختلف عن g ∘ f. في المثال 1: (g ∘ f)(x) = sqrt(x) - 3، وهي غير sqrt(x - 3). لذا يجب الانتباه إلى الترتيب.
| المركب | العبارة | المجموعة |
|---|---|---|
f ∘ g |
sqrt(x - 3) |
[3 , +inf[ |
g ∘ f |
sqrt(x) - 3 |
[0 , +inf[ |
تفكيك دالة إلى مركب دالتين
يطلب كثيرا كتابة دالة h على شكل f ∘ g. الطريقة: حدد الجزء الداخلي (ما بين القوسين أو تحت الجذر أو في المقام) وسمه g(x)، ثم اكتب الباقي بدلالة g(x) فيكون f.
مثال: h(x) = (2x + 1)². نأخذ g(x) = 2x + 1 وf(u) = u²، فيكون h = f ∘ g.
مثال آخر: h(x) = sqrt(x² + 1). نأخذ g(x) = x² + 1 وf(u) = sqrt(u).
تمارين
f(x) = x²وg(x) = x + 1. احسب(f ∘ g)(2)و(g ∘ f)(2). (الأولى 9 والثانية 5)- عين مجموعة تعريف
f ∘ gإذا كانf(x) = sqrt(x)وg(x) = 4 - x. (]-inf , 4]) - فكك
h(x) = 1 / (x + 5)إلى مركب دالتين. (g(x) = x + 5وf(u) = 1/u)
نصائح
- اكتب الدالة الداخلية بين قوسين وسمها قبل أي حساب.
- لتعيين المجموعة طبق الشرطين معا ولا تكتف بأحدهما.
- لا تعكس الترتيب:
f ∘ gغيرg ∘ f.
أخطاء شائعة
- القول إن مجموعة تعريف المركب هي مجموعة تعريف الدالة الخارجية فقط.
- كتابة
f(x) × g(x)بدلf(g(x)). - عكس ترتيب الدالتين عند الحساب.
الشرح المصوّر
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يقدم الأستاذ جوفر في فيديو «أقوى شرح لدرس تركيب الدوال للسنة الثانية ثانوي» هذا الدرس في نحو خمس وعشرين دقيقة.