درس المعادلات والمتراجحات من الدرجة الثانية مراجعة لدرس السنة الأولى ثانوي، ويعد الجديد في السنة الثانية هو المعادلات مضاعفة التربيع. ولكي تحل هذا الجديد جيدا لا بد من إتقان الأساس أولا، وهو ما تعرضه الصفحة بالأمثلة، وتنتهي بتمارين.
تعريف المعادلة من الدرجة الثانية
هي كل معادلة يمكن كتابتها على الشكل:
a x² + b x + c = 0حيثaوbوcأعداد حقيقية وaيختلف عن الصفر.
- يجب أن تكون المعادلة صفرية، أي الطرف الثاني صفر. فالمعادلة
3x² - 5x + 8 = 3تكتب أولا3x² - 5x + 5 = 0(ننقل 3 إلى الطرف الأول). - شرط
a ≠ 0ضروري، لأنه لو كانa = 0اختفى الحد التربيعي وصارت المعادلة من الدرجة الأولى. - لا مانع أن يكون
b = 0أوc = 0.
الشكل النموذجي
a x² + b x + c = a [ (x + b/(2a))² - Δ/(4a²) ]
حيث المميز هو:
Δ = b² - 4 a c
الحالات الثلاث للمميز دلتا
إشارة Δ |
عدد الحلول | الحلول | التحليل |
|---|---|---|---|
Δ > 0 |
حلان مختلفان | x₁ = (-b + sqrt(Δ)) / (2a) وx₂ = (-b - sqrt(Δ)) / (2a) |
a (x - x₁)(x - x₂) |
Δ = 0 |
حل مضاعف | x₀ = -b / (2a) |
a (x - x₀)² |
Δ < 0 |
لا حل في R |
لا يوجد | لا يحلل في R |
مثال 1: حلان مختلفان
حل 2x² - 5x + 3 = 0.
Δ = (-5)² - 4 × 2 × 3 = 25 - 24 = 1، موجب.x₁ = (5 + 1) / 4 = 3/2وx₂ = (5 - 1) / 4 = 1.- التحليل:
2 (x - 3/2)(x - 1).
مثال 2: حل مضاعف
حل x² - 6x + 9 = 0.
Δ = 36 - 36 = 0.- الحل المضاعف:
x₀ = 6 / 2 = 3. - التحليل:
(x - 3)².
مثال 3: لا حل
حل x² + x + 1 = 0.
Δ = 1 - 4 = -3سالب، إذن لا حل فيR، وتكون مجموعة الحلولS = ∅.
المتراجحات من الدرجة الثانية
لحل a x² + b x + c > 0 (أو أي رمز آخر) نستعمل إشارة ثلاثي الحدود:
| الحالة | الإشارة |
|---|---|
Δ > 0 |
إشارة a خارج الجذرين، وعكس إشارة a بينهما |
Δ = 0 |
إشارة a دائما، وتنعدم عند الحل المضاعف |
Δ < 0 |
إشارة a دائما |
مثال 4
حل x² - 3x + 2 < 0.
Δ = 9 - 8 = 1، والجذران1و2.a = 1موجب، فالعبارة سالبة بين الجذرين.- مجموعة الحلول:
S = ]1 , 2[.
مثال 5
حل -x² + 4x - 4 ≥ 0.
Δ = 16 - 16 = 0، والحل المضاعفx₀ = 2.a = -1سالب، فالعبارة سالبة دائما وتنعدم عند 2.- مجموعة الحلول:
S = {2}.
تمارين
- حل
x² - 4x + 3 = 0. (الحلان1و3) - حل
4x² + 4x + 1 = 0. (حل مضاعف-1/2) - حل المتراجحة
x² - 9 ≥ 0. (S = ]-inf , -3] ∪ [3 , +inf[) - هل للمعادلة
x² + 2x + 5 = 0حلول فيR؟ (لا لأنΔ = -16)
نصائح
- اكتب المعادلة على الشكل الصفري قبل حساب المميز.
- احسب
Δبحذر مع الإشارات السالبة، واكتب القيم بين قوسين. - ارسم جدول إشارة العبارة قبل كتابة مجموعة حلول المتراجحة.
أخطاء شائعة
- نسيان الشرط
a ≠ 0. - الخلط بين حل المعادلة وإشارة العبارة.
- كتابة الحل المضاعف حلين مختلفين.
الشرح المصوّر
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يقدم الأستاذ سليم مختارة في فيديو «المعادلات والمتراجحات من الدرجة الثانية (راجع من الصفر) للسنة الثانية ثانوي الشعب العلمية» هذا الدرس في نحو ست وعشرين دقيقة.