درس كثيرات الحدود من دروس السنة الثانية ثانوي لجميع الشعب العلمية، ويعتمد على مكتسبات سابقة (النشر والتحليل والمعادلات من الدرجة الثانية). والدرس يتحول إلى أداة قوية لحل معادلات ومتراجحات من درجات أعلى. تعرض الصفحة الملخص ثم تطبيقات، وتنتهي بتمارين.
التعريف
دالة كثير حدود هي كل دالة
fمعرفة علىRويمكن كتابتها:f(x) = aₙ xⁿ + aₙ₋₁ xⁿ⁻¹ + ... + a₁ x + a₀حيثaₙ ≠ 0.
- الأعداد
a₀ ، a₁ ، ... ، aₙهي المعاملات. - العدد الطبيعي
nهو درجة كثير الحدود.
أمثلة:
3x² - 5x + 1درجته2.x³ - 4درجته3.7(ثابت غير معدوم) درجته0.
تساوي كثيري حدود
كثيرا حدود متساويان إذا كانا من الدرجة نفسها وكانت معاملات الحدود المتماثلة متساوية.
هذه الخاصية تسمح بـتحديد المعاملات (المطابقة).
مثال
عين a وb وc بحيث: 2x² + 3x - 5 = a (x - 1)² + b (x - 1) + c لكل x.
- ننشر الطرف الأيمن:
a x² - 2a x + a + b x - b + c = a x² + (b - 2a) x + (a - b + c). - بالمطابقة:
a = 2، وb - 2a = 3أيb = 7، وa - b + c = -5أيc = 0.
جذر كثير حدود
العدد
αجذر لكثير الحدودfإذا كانf(α) = 0.
مثال: f(x) = x² - 5x + 6. نجد f(2) = 4 - 10 + 6 = 0 فالعدد 2 جذر.
القسمة على x - α
إذا كان
αجذرا لـfفإنf(x)يقبل القسمة على(x - α)، ويكتبf(x) = (x - α) q(x).
الطريقة: القسمة الإقليدية أو طريقة هورنر
مثال: f(x) = x³ - 6x² + 11x - 6، وجذر 1 (f(1) = 0).
- نقسم على
(x - 1):f(x) = (x - 1)(x² - 5x + 6). - نحلل الثاني:
x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3). - إذن:
f(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3).
حل معادلة من درجة أعلى
لحل x³ - 6x² + 11x - 6 = 0:
- نبحث عن جذر بديهي (من قواسم الحد الثابت
±1 ، ±2 ، ±3 ، ±6). - نحلل ونحل كل عامل على حدة.
المجموعة: S = {1 ; 2 ; 3}.
إشارة كثير حدود
نحلل إلى جداء عوامل من الدرجة الأولى ونرسم جدول إشارة:
مثال: إشارة (x - 1)(x - 2).
x |
-∞ |
1 | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
x - 1 |
سالبة | 0 | موجبة | موجبة |
x - 2 |
سالبة | سالبة | 0 | موجبة |
| الجداء | موجب | 0 | سالب ثم 0 | موجب |
ومنه (x - 1)(x - 2) < 0 على ]1 ; 2[.
ملخص
| المفهوم | القاعدة |
|---|---|
| الجذر | f(α) = 0 |
| القسمة | الجذر α يعطي عاملا (x - α) |
| المطابقة | تساوي المعاملات المتماثلة |
| الإشارة | جدول إشارة العوامل |
تمارين
- هل
3جذر لـx² - 2x - 3؟ (نعم،9 - 6 - 3 = 0) - حلل
x³ - x. (x (x - 1)(x + 1)) - حل
x² - 4x + 3 = 0. (S = {1 ; 3})
نصائح
- جرب الجذور من قواسم الحد الثابت.
- تحقق من الجذر بالتعويض قبل القسمة.
- بعد القسمة حلل العامل الثاني.
أخطاء شائعة
- نسيان العامل
(x - α)بعد إيجاد الجذر. - الخلط بين الجذر والعامل: الجذر
2يعطي العامل(x - 2). - أخطاء الإشارات في جدول الإشارة.
الشرح المصوّر
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يقدم الأستاذ كساسي في فيديو «درس كثير حدود كاملا في فيديو واحد بالشرح المفصل، ثانية ثانوي» هذا الدرس في نحو إحدى وأربعين دقيقة.