المتتاليات العددية للسنة الثانية ثانوي: الحد العام وحساب الحدود واتجاه التغير

درس المتتاليات العددية من دروس السنة الثانية ثانوي المهمة، ويتكرر في الفروض والاختبارات والبكالوريا. والمتتالية مجموعة أعداد مرتبة نسميها حدودا. تعرض الصفحة التعريف وطريقة حساب الحدود والخصائص، وتنتهي بتمارين.

التعريف

المتتالية العددية ⁦(uₙ)⁩ دالة معرفة على مجموعة الأعداد الطبيعية ⁦N⁩ (أو جزء منها) تربط كل عدد طبيعي ⁦n⁩ بعدد حقيقي ⁦uₙ⁩.

• ⁦uₙ⁩ هو الحد العام.
• ⁦u₀⁩ هو الحد الأول (أو ⁦u₁⁩ إذا ابتدأت من 1).
• ⁦n⁩ هو رتبة الحد.

طرق تعريف المتتالية

1. بالحد العام (صيغة صريحة)

⁦uₙ = f(n)⁩

مثال: ⁦uₙ = 2n + 3⁩.

• ⁦u₀ = 3⁩.
• ⁦u₁ = 5⁩.
• ⁦u₂ = 7⁩.
• ⁦u₁₀ = 23⁩.

الميزة: نحسب أي حد مباشرة.

2. بالتراجع (صيغة تراجعية)

⁦u₀⁩ معلوم و⁦uₙ₊₁ = f(uₙ)⁩

مثال: ⁦u₀ = 2⁩ و⁦uₙ₊₁ = 3uₙ - 1⁩.

• ⁦u₁ = 3×2 - 1 = 5⁩.
• ⁦u₂ = 3×5 - 1 = 14⁩.
• ⁦u₃ = 3×14 - 1 = 41⁩.

العيب: لحساب ⁦u₁₀₀⁩ نحتاج حساب كل ما قبله.

المتتالية الحسابية

متتالية الفرق بين كل حدين متتاليين فيها ثابت ⁦r⁩ يسمى الأساس: ⁦uₙ₊₁ = uₙ + r⁩.

• الحد العام: ⁦uₙ = u₀ + n r⁩.
• مثال: ⁦u₀ = 4⁩ و⁦r = 3⁩ ← ⁦uₙ = 4 + 3n⁩.

المتتالية الهندسية

متتالية النسبة بين كل حدين متتاليين فيها ثابتة ⁦q⁩ تسمى الأساس: ⁦uₙ₊₁ = q × uₙ⁩.

• الحد العام: ⁦uₙ = u₀ × qⁿ⁩.
• مثال: ⁦u₀ = 2⁩ و⁦q = 3⁩ ← ⁦uₙ = 2 × 3ⁿ⁩.

اتجاه التغير

المتتالية متزايدة إذا كان ⁦uₙ₊₁ ≥ uₙ⁩ لكل ⁦n⁩، ومتناقصة إذا كان ⁦uₙ₊₁ ≤ uₙ⁩، وثابتة إذا تساوت الحدود.

الطريقة 1: دراسة إشارة الفرق

نحسب ⁦uₙ₊₁ - uₙ⁩.

مثال: ⁦uₙ = n² + 1⁩.

⁦uₙ₊₁ - uₙ = (n + 1)² + 1 - n² - 1 = 2n + 1 > 0⁩.

إذن المتتالية متزايدة.

الطريقة 2: مقارنة النسبة (حدود موجبة)

نقارن ⁦uₙ₊₁ / uₙ⁩ مع ⁦1⁩.

الطريقة 3: بالدالة

إذا كان ⁦uₙ = f(n)⁩ ودرسنا اتجاه تغير ⁦f⁩ على ⁦[0 ; +∞[⁩ فهو نفسه اتجاه المتتالية.

مجموع حدود

• المتتالية الحسابية: ⁦S = (عدد الحدود) × (الحد الأول + الحد الأخير) / 2⁩.
• الهندسية: ⁦S = الحد الأول × (1 - qᵏ) / (1 - q)⁩ لـ⁦k⁩ حدا.

جدول الخلاصة

مثال محلول

⁦uₙ = 3n - 2⁩:

• ⁦u₀ = -2⁩ ، ⁦u₁ = 1⁩ ، ⁦u₂ = 4⁩.
• ⁦uₙ₊₁ - uₙ = 3 > 0⁩ فهي متزايدة وحسابية أساسها ⁦3⁩.

تمارين

1. احسب ⁦u₅⁩ إذا كان ⁦uₙ = n² - 1⁩. (24)
2. حدد طبيعة ⁦uₙ = 5 × 2ⁿ⁩. (هندسية أساسها 2)
3. ادرس اتجاه تغير ⁦uₙ = 10 - 2n⁩. (متناقصة)

نصائح

• اكتب الحدود الأولى لتفهم الشكل.
• لا تخلط بين ⁦uₙ₊₁⁩ و⁦uₙ + 1⁩.
• استعمل الفرق لدراسة الاتجاه.

أخطاء شائعة

• الخلط بين الحسابية والهندسية.
• نسيان نقطة بداية الترقيم.
• القول إن كل متتالية رتيبة.

الشرح المصوّر

لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، تقدم قناة Maths.07 في فيديو «المتتاليات (ثانية ثانوي): حساب الحدود بالحد العام» هذا الدرس في نحو أربع عشرة دقيقة.