حين تحسب قيمة العبارة √(x + 1) فإنك لا تقوم بعملية واحدة، وإنما بعمليتين متتاليتين: تضيف أولًا 1 إلى x، ثم تأخذ الجذر التربيعي للناتج. هذا هو جوهر تركيب الدوال: دالة تأخذ ناتج دالة أخرى مدخلًا لها. وهو درس مهم في السنة الثانية ثانوي لشعبتي العلوم التجريبية والتقني رياضي، وتعتمد عليه السنة الثالثة في دراسة الدوال الأسية واللوغاريتمية والنهايات. تعرض هذه الصفحة تعريف التركيب، ثم مجموعة تعريف الدالة المركبة، ثم تفكيك دالة إلى دالتين، ثم اتجاه تغير الدالة المركبة، وتنتهي بأخطاء شائعة وتمارين محلولة.
تعريف التركيب
لتكن f دالة مجموعة تعريفها Df، ولتكن g دالة مجموعة تعريفها Dg. مركب الدالة f ثم الدالة g هو الدالة التي نرمز لها بـ g∘f ونقرأ: «g تركيب f» أو «g بعد f»، وتعرف كالتالي:
(g∘f)(x) = g(f(x))
وهذا يعني أننا نطبق f أولًا على x، ثم نطبق g على الناتج. ولهذا يقول الأستاذ في الفيديو تشبيهًا لتذكر الترتيب: الدالة الداخلية f هي «الابنة» والدالة الخارجية g هي «الأم»، فالابنة داخل الأم.
مجموعة التعريف
لكي يكون (g∘f)(x) معرفًا يجب تحقق شرطين معًا:
xينتمي إلىDf، أي أنf(x)معرف.f(x)ينتمي إلىDg، أي أنgمعرفة عند الناتج.
أي أن مجموعة تعريف g∘f هي مجموعة الأعداد x من Df التي تحقق f(x) ينتمي إلى Dg.
تفكيك دالة مركبة
يطلب كثيرًا في التمارين أن نبين أن دالة هي مركبة لدالتين بسيطتين ونعين مجموعة تعريفها.
المثال الأول
h(x) = √(x + 1).
- الدالة الداخلية (الابنة):
f(x) = x + 1، مجموعة تعريفهاR. - الدالة الخارجية (الأم):
g(x) = √x، مجموعة تعريفها[0 ; +∞[. - إذن
h = g∘f. - شرط التعريف:
x + 1 ≥ 0أيx ≥ -1. - مجموعة التعريف:
Dh = [-1 ; +∞[.
المثال الثاني
h(x) = 2 / (x + 1).
- الدالة الداخلية:
f(x) = x + 1. - الدالة الخارجية:
g(x) = 2 / x، مجموعة تعريفهاR*أيRدون0. - شرط التعريف:
x + 1يختلف عن0، أيxيختلف عن-1. - مجموعة التعريف:
Dh = R - {-1}، أي]-∞ ; -1[اتحاد]-1 ; +∞[.
المثال الثالث
h(x) = (x - 3)².
- الدالة الداخلية:
f(x) = x - 3. - الدالة الخارجية:
g(x) = x². Dh = R.
التركيب ليس تبديليًا
في العادة g∘f تختلف عن f∘g. مثال: f(x) = x + 1 و g(x) = x²:
(g∘f)(x) = (x + 1)².(f∘g)(x) = x² + 1.
فنرى أن الدالتين مختلفتان، ولهذا يجب احترام الترتيب عند الكتابة.
اتجاه تغير الدالة المركبة
المبرهنة: لتكن f دالة رتيبة (متزايدة أو متناقصة) على مجال I، ولتكن g دالة رتيبة على مجال J يحوي f(I) (أي كل قيم f على I). عندئذ الدالة g∘f رتيبة على I، واتجاه تغيرها كالتالي:
- إذا كان اتجاها تغير
fوgمتماثلين (كلتاهما متزايدة أو كلتاهما متناقصة) فإنg∘fمتزايدة. - إذا كان اتجاها تغير
fوgمتعاكسين فإنg∘fمتناقصة.
إثبات الحالة الأولى (كلتاهما متزايدة)
نأخذ a و b من I بحيث a < b. بما أن f متزايدة فإن f(a) < f(b). وبما أن g متزايدة على J فإن g(f(a)) < g(f(b)). إذن (g∘f)(a) < (g∘f)(b) أي أن g∘f متزايدة.
تطبيق 1
الدالة h(x) = √(x + 1) على [-1 ; +∞[:
f(x) = x + 1متزايدة على[-1 ; +∞[، وقيمها في[0 ; +∞[.g(x) = √xمتزايدة على[0 ; +∞[.- اتجاها التغير متماثلان، إذن
hمتزايدة على[-1 ; +∞[.
تطبيق 2
الدالة h(x) = 2 / (x + 1) على ]-1 ; +∞[:
f(x) = x + 1متزايدة على]-1 ; +∞[، وقيمها في]0 ; +∞[.g(x) = 2 / xمتناقصة على]0 ; +∞[.- اتجاها التغير متعاكسان، إذن
hمتناقصة على]-1 ; +∞[.
تطبيق 3
الدالة h(x) = √(2x - 6):
- شرط التعريف:
2x - 6 ≥ 0أيx ≥ 3، إذنDh = [3 ; +∞[. - الدالة الداخلية
f(x) = 2x - 6متزايدة. الدالة الخارجيةg(x) = √xمتزايدة. - إذن
hمتزايدة على[3 ; +∞[.
خطوات حل تمرين على التركيب
- عين الدالة الداخلية والدالة الخارجية.
- حدد مجموعة تعريف كل منهما.
- اكتب شرطي التعريف معًا وحل المتراجحة الناتجة.
- ادرس اتجاه تغير كل دالة على المجال المطلوب، وتأكد أن قيم
fتقع في مجال تغيرg. - طبق قاعدة تماثل اتجاهي التغير أو تعاكسهما.
أخطاء شائعة
- عكس الترتيب، فاعتبار
g∘fتعني تطبيقgأولًا. - إهمال الشرط الثاني في مجموعة التعريف:
f(x)يجب أن ينتمي إلىDg. - القول إن
g∘f = f∘g. - تطبيق قاعدة اتجاه التغير على مجال لا تقع فيه قيم
fضمن مجال تغيرg. - نسيان استبعاد القيم التي تعدم المقام.
- الخلط بين «تركيب» دالتين و «ضربهما».
تمارين للتدرب
- اكتب
h(x) = (3x + 2)²على شكل مركب دالتين. - عين مجموعة تعريف
h(x) = √(x - 4)، ثم ادرس اتجاه تغيرها. - نعتبر
f(x) = 2xوg(x) = x². احسب(g∘f)(3)و(f∘g)(3). - ادرس اتجاه تغير
h(x) = 1 / (x - 2)على]2 ; +∞[.
الحلول:
- الداخلية
f(x) = 3x + 2والخارجيةg(x) = x². - شرط التعريف
x - 4 ≥ 0أيx ≥ 4، إذنDh = [4 ; +∞[. الدالتانx - 4و√xمتزايدتان، فـhمتزايدة. (g∘f)(3) = g(6) = 36، و(f∘g)(3) = f(9) = 18.f(x) = x - 2متزايدة وقيمها في]0 ; +∞[، وg(x) = 1 / xمتناقصة على هذا المجال، فـhمتناقصة على]2 ; +∞[.
الشرح المصوّر
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يقدم الأستاذ نورالدين في فيديو «درس تركيب الدوال كاملًا للثانية ثانوي» هذا الدرس في نحو ست وثلاثين دقيقة، ويعرف فيه التركيب بأن الدالة المركبة هي دالة داخل دالة، ثم يطبقه على أمثلة لتعيين مجموعة التعريف وتفكيك الدالة إلى دالتين، وينتهي باتجاه تغير الدالة المركبة.