يعد درس تساوي دالتين أول درس في وحدة الدوال العددية للسنة الثانية ثانوي، ويصفه كثير من الأساتذة بأنه أسهل دروس الرياضيات لأنه يمنح التلميذ نقطة مجانية في الاختبار إن أتقنه. وفكرته أن الدالتين تكونان متساويتين إذا تحقق شرطان. تعرض الصفحة الشرطين ثم أمثلة محلولة، وتنتهي بتمارين.
تعريف تساوي دالتين
نقول إن الدالتين
fوgمتساويتان ونكتبf = gإذا تحقق الشرطان التاليان معا: 1. لهما مجموعة التعريف نفسها:Df = Dg. 2. من أجل كلxمن هذه المجموعة:f(x) = g(x)(العبارة نفسها).
ولا يهم اسما الدالتين (f وg أو h وk)، المهم هو الشرطان.
وإذا اختل أحد الشرطين فإن الدالتين غير متساويتين: f ≠ g.
مثال 1: دالتان متساويتان
f(x) = x² - 1 وg(x) = (x - 1)(x + 1) معرفتان على R.
- الشرط الأول:
Df = RوDg = R، متحقق. - الشرط الثاني:
(x - 1)(x + 1) = x² - 1، متحقق. - إذن
f = g.
مثال 2: مجموعتا التعريف مختلفتان
f(x) = (x² - 1)/(x - 1) وg(x) = x + 1.
Df = Rما عدا1لأن المقام ينعدم عند 1.Dg = R.- الشرط الأول غير متحقق (
Df ≠ Dg)، إذنf ≠ g.
وهذا هو الفخ الأشهر: بعد التبسيط نجد f(x) = x + 1 من أجل x ≠ 1، لكن مجموعتي التعريف مختلفتان، فالدالتان غير متساويتين.
مثال 3: العبارتان مختلفتان
f(x) = sqrt(x²) وg(x) = x.
- كلتاهما معرفة على
R. - لكن
sqrt(x²) = |x|وليسxمن أجلx < 0، فمثلاf(-2) = 2وg(-2) = -2. - الشرط الثاني غير متحقق، إذن
f ≠ g.
مثال 4: تعيين مجموعة التعريف أولا
f(x) = sqrt(x) × sqrt(x + 1) وg(x) = sqrt(x² + x).
Df: يجب أن يكونx ≥ 0وx + 1 ≥ 0، أيx ≥ 0، فـDf = [0 , +inf[.Dg: يجب أن يكونx² + x ≥ 0، أيx(x + 1) ≥ 0، فـDg = ]-inf , -1] ∪ [0 , +inf[.Df ≠ Dgإذن الدالتان غير متساويتين، مع أن العبارتين تبدوان متشابهتين على[0 , +inf[.
خطوات الحل
- عين
DfثمDg. - قارن بينهما: إن اختلفتا فالدالتان غير متساويتين.
- إن تساوتا: بسط العبارتين وقارن بينهما.
- اكتب الخلاصة:
f = gأوf ≠ g.
جدول الخلاصة
| الشرط الأول (مجموعة التعريف) | الشرط الثاني (العبارة) | النتيجة |
|---|---|---|
| متحقق | متحقق | f = g |
| غير متحقق | أي حالة | f ≠ g |
| متحقق | غير متحقق | f ≠ g |
تمارين
- هل
f(x) = x(x - 2)وg(x) = x² - 2xمتساويتان؟ (نعم) - هل
f(x) = x/xوg(x) = 1متساويتان؟ (لا،Df = R*وDg = R) - هل
f(x) = |x|وg(x) = sqrt(x²)متساويتان؟ (نعم، كلتاهما معرفة علىRوتتساويان)
نصائح
- لا تبسط قبل تعيين مجموعة التعريف.
- لإثبات عدم التساوي يكفي مثال مضاد واحد.
- اكتب الخلاصة بجملة واضحة.
أخطاء شائعة
- القول إن الدالتين متساويتان لمجرد تساوي العبارتين بعد التبسيط.
- إهمال مجموعة التعريف.
- الخلط بين
f(x)والدالةf.
الشرح المصوّر
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يقدم الأستاذ حلفاوي جمال في فيديو «الدرس الأول: تساوي دالتين، محور الدوال العددية، ثانية ثانوي» هذا الدرس في نحو ثماني عشرة دقيقة.