العمليات على الدوال للسنة الثانية ثانوي: جمع دالة مع عدد وضربها فيه ومجموع دالتين ومجموعة التعريف

تتعلم في الوحدة الأولى من السنة الثانية ثانوي عموميات حول الدوال، ومن عناصرها العمليات على الدوال. يشبه الأمر تعلم القراءة: نبدأ بالحروف، ثم نركبها كلمات، ثم جملا. والحروف هنا هي الدوال المرجعية التي تعلمتها في الطور المتوسط والسنة الأولى: دالة المربع، ودالة المقلوب، ودالة الجذر التربيعي، ودالة القيمة المطلقة. وفي هذا الدرس نركب منها دوال جديدة. تعرض الصفحة العمليات الأربع مع أثر كل منها في مجموعة التعريف، وتنتهي بتمارين.

الدوال المرجعية

العملية 1: إضافة عدد حقيقي إلى دالة

إذا كانت ⁦f⁩ دالة و⁦k⁩ عددا حقيقيا، فالدالة ⁦f + k⁩ عبارتها ⁦f(x) + k⁩.

مثال: ⁦f(x) = x²⁩ و⁦k = 2⁩، فيكون ⁦(f + 2)(x) = x² + 2⁩.

مجموعة التعريف لا تتغير، لأن إضافة عدد ثابت لا تمنع حساب أي صورة.

العملية 2: ضرب دالة في عدد حقيقي

الدالة ⁦k × f⁩ عبارتها ⁦k × f(x)⁩.

مثال: ⁦g(x) = 1/x⁩ و⁦k = -3⁩، فيكون ⁦(-3g)(x) = -3/x⁩.

مجموعة التعريف لا تتغير أيضا: تبقى ⁦R⁩ ما عدا 0، لأن المقام ما زال لا يقبل الصفر.

العملية 3: مجموع دالتين

الدالة ⁦f + g⁩ عبارتها ⁦f(x) + g(x)⁩. لتكن ⁦f(x) = x²⁩ و⁦g(x) = 1/x⁩، فإن:

⁦(f + g)(x) = x² + 1/x⁩

ولكي تكون هذه العبارة معرفة يجب أن تكون ⁦f(x)⁩ معرفة و⁦g(x)⁩ معرفة معا. إذن:

مجموعة تعريف ⁦f + g⁩ هي تقاطع مجموعتي تعريف ⁦f⁩ و⁦g⁩.

في المثال: تقاطع ⁦R⁩ مع ⁦R⁩ ما عدا 0، أي ⁦R⁩ ما عدا 0.

العملية 4: جداء دالتين

الدالة ⁦f × g⁩ عبارتها ⁦f(x) × g(x)⁩، ومجموعة تعريفها أيضا تقاطع مجموعتي التعريف. وفي المثال: ⁦(f × g)(x) = x² × (1/x)⁩.

لاحظ أن التبسيط إلى ⁦x⁩ لا يغير مجموعة التعريف الأصلية، فتبقى ⁦R⁩ ما عدا 0، ولا يجوز أن تعد 0 ضمنها لمجرد أن العبارة المبسطة ⁦x⁩ معرفة عنده. وهذا خطأ شائع جدا.

جدول الخلاصة

تمارين

1. ⁦f(x) = sqrt(x)⁩ و⁦g(x) = x²⁩. اكتب عبارة ⁦f + g⁩ وعين مجموعة تعريفها. (العبارة ⁦sqrt(x) + x²⁩، والمجموعة ⁦[0 , +inf[⁩)
2. ⁦f(x) = 1/x⁩. اكتب عبارة ⁦5f⁩ ومجموعة تعريفها. (العبارة ⁦5/x⁩، والمجموعة ⁦R⁩ ما عدا 0)
3. هل تتغير مجموعة تعريف ⁦h(x) = x² + 7⁩ عن مجموعة تعريف ⁦x²⁩؟ (لا)

نصائح

• عين مجموعة تعريف كل دالة قبل إجراء العملية.
• عند الجمع أو الضرب خذ دائما تقاطع المجموعتين.
• لا تبسط العبارة قبل تعيين مجموعة التعريف.

أخطاء شائعة

• اعتبار مجموعة تعريف المجموع اتحاد المجموعتين.
• تحديد المجموعة بعد التبسيط وليس قبله.
• الخلط بين الجداء مع عدد والجداء بين دالتين.

الشرح المصوّر

لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يقدم الأستاذ عبد الباسط في فيديو «العمليات على الدوال، وحدة عموميات حول الدوال، السنة الثانية ثانوي» هذا الدرس في نحو ست عشرة دقيقة.