يعتبر كثير من الأساتذة درس الاشتقاقية العمود الفقري للرياضيات في السنتين الثانية والثالثة ثانوي، لأن دراسة تغيرات الدوال وحل المسائل في البكالوريا كلها تعتمد عليه. والخبر الجيد أنه ليس صعبًا إذا بُني بترتيب: نهاية دالة عند الصفر، ثم العدد المشتق، ثم الدالة المشتقة وقواعدها، ثم إشارتها لدراسة التغيرات. تشرح هذه الصفحة هذه العناصر الثلاثة، وتضيف معادلة المماس ودراسة التغيرات، وتنتهي بأخطاء متكررة وتمارين محلولة.
نهاية دالة عند الصفر
لتكن φ دالة مجموعة تعريفها تشمل مجالًا حول الصفر (ما عدا الصفر نفسه ربما). نقول إن φ(h) تؤول إلى العدد الحقيقي l عندما يؤول h إلى 0، ونكتب lim (h→0) φ(h) = l، إذا أصبحت قيم φ(h) قريبة من l بالقدر الذي نريد كلما اقتربت h من 0. وهذه النهاية هي الأداة التي نعرّف بها الاشتقاق.
العدد المشتق
لتكن f دالة معرفة على مجال I يحوي العدد a. نقول إن f قابلة للاشتقاق عند a إذا وجد عدد حقيقي l بحيث:
lim (h→0) (f(a + h) − f(a)) / h = l
ونسمي l العدد المشتق للدالة f عند a ونرمز له بـ f'(a). والنسبة (f(a + h) − f(a)) / h هي معامل توجيه القاطع الذي يصل النقطتين (a ; f(a)) و (a + h ; f(a + h))، فالعدد المشتق هو الحالة الحدية لهذا المعامل حين تقترب النقطتان.
مثال. f(x) = x² عند a = 2: (f(2 + h) − f(2)) / h = ((2 + h)² − 4) / h = (4h + h²) / h = 4 + h، وهي تؤول إلى 4. إذن f'(2) = 4.
مثال لدالة غير قابلة للاشتقاق. f(x) = |x| عند 0: النسبة |h| / h تساوي 1 إذا كان h > 0 و −1 إذا كان h < 0، فلا توجد نهاية واحدة عند 0، والدالة غير قابلة للاشتقاق عند 0.
المماس
إذا كانت f قابلة للاشتقاق عند a فإن لمنحناها مماسًا عند النقطة (a ; f(a)) معامل توجيهه f'(a) ومعادلته:
y = f'(a) × (x − a) + f(a)
ففي مثالنا f(x) = x² عند a = 2: y = 4 (x − 2) + 4 = 4x − 4.
الدالة المشتقة وقواعد الاشتقاق
إذا كانت f قابلة للاشتقاق عند كل عدد من مجال I فالدالة f' التي تقرن كل x بالعدد المشتق f'(x) هي الدالة المشتقة. وهذه قواعد الاشتقاق التي تحفظها:
- الثابت:
(k)' = 0. - القوة:
(x^n)' = n × x^(n−1)، ومنه(x)' = 1. (1 / x)' = −1 / x²و(√x)' = 1 / (2√x)من أجلx > 0.- المجموع:
(u + v)' = u' + v'، والجداء بثابت:(k u)' = k u'. - الجداء:
(u × v)' = u' × v + u × v'. - الخارج:
(u / v)' = (u' × v − u × v') / v²حيثv ≠ 0.
من المشتقة إلى التغيرات
إشارة الدالة المشتقة تحدد اتجاه تغير الدالة على مجال: إذا كان f'(x) ≥ 0 على I فالدالة متزايدة على I، وإذا كان f'(x) ≤ 0 فهي متناقصة. وعند انعدام المشتقة مع تغير إشارتها يوجد قيمة حدية محلية.
مثال. f(x) = x³ − 3x. المشتقة f'(x) = 3x² − 3 = 3 (x − 1)(x + 1). تنعدم عند −1 و 1. هي موجبة على ]−∞ ; −1[ وسالبة على ]−1 ; 1[ وموجبة على ]1 ; +∞[. إذن f متزايدة ثم متناقصة ثم متزايدة، وقيمتها العظمى المحلية f(−1) = 2 وقيمتها الصغرى المحلية f(1) = −2.
مثال بخارج القسمة. f(x) = (x + 1) / (x − 2) على ℝ − {2}. المشتقة f'(x) = ((x − 2) − (x + 1)) / (x − 2)² = −3 / (x − 2)²، وهي سالبة تمامًا، فالدالة متناقصة تمامًا على كل من المجالين ]−∞ ; 2[ و ]2 ; +∞[.
أخطاء شائعة
- نسيان القسمة على
hفي تعريف العدد المشتق، فتخرج النهاية صفرًا دائمًا. - الخلط بين العدد المشتق
f'(a)(عدد) والدالة المشتقةf'(دالة). - اشتقاق الجداء بقولك
(u v)' = u' v'. الصحيحu' v + u v'. - أخطاء الإشارة في مشتقة خارج القسمة، وخاصة ترتيب البسط
u' v − u v'. - الاعتقاد أن كل دالة مستمرة قابلة للاشتقاق. القابلية للاشتقاق تقتضي الاستمرارية والعكس خاطئ، كما في
|x|عند 0. - الخطأ في معادلة المماس: يجب أن تحسب
f'(a)وf(a)معًا قبل أن تعوّض. - الخلط بين إشارة الدالة وإشارة مشتقتها عند دراسة التغيرات.
تمارين للتدرب
- احسب
f'(1)من التعريف للدالةf(x) = x² + 3x. - اشتق
f(x) = (2x − 1)(x² + 3). - أوجد معادلة المماس لمنحنى
f(x) = √xعند النقطة ذات الفاصلة 4. - ادرس تغيرات
f(x) = x² − 4x + 3. - هل
f(x) = |x − 1|قابلة للاشتقاق عند 1؟
الحلول:
(f(1 + h) − f(1)) / h = ((1 + h)² + 3 (1 + h) − 4) / h = (h² + 5h) / h = h + 5، والنهاية 5. إذنf'(1) = 5.u = 2x − 1وu' = 2، وv = x² + 3وv' = 2x. إذنf'(x) = 2 (x² + 3) + (2x − 1)(2x) = 6x² − 2x + 6.f'(x) = 1 / (2√x)فـf'(4) = 1 / 4، وf(4) = 2. المعادلةy = (1 / 4)(x − 4) + 2 = x / 4 + 1.f'(x) = 2x − 4، تنعدم عند 2. الدالة متناقصة على]−∞ ; 2]ومتزايدة على[2 ; +∞[، وقيمتها الصغرىf(2) = −1.- لا. النسبة
|h| / hتقترب من−1على اليسار ومن 1 على اليمين، فلا توجد نهاية واحدة عند 1.
الشرح المصوّر وملفات التمارين
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يعرض الأستاذ سليم مختارة في فيديو «الإشتقاقية: نهاية دالة عند الصفر، دالة قابلة للإشتقاق عند عدد، مشتقة دالة» المقطع في نحو اثنتين وعشرين دقيقة، مركزًا في هذه الحصة على العناصر الثلاثة الأولى: النهاية عند الصفر والقابلية للاشتقاق عند عدد والدالة المشتقة.
وللتطبيق على تمارين الكتاب المدرسي، اطلع على هذين الملفين في الموقع: