الاحتمالات من فصول السنة الثانية ثانوي التي يبدأ فيها تلاميذ الشعب العلمية والتقنية بمفاهيم جديدة تمامًا: تجربة عشوائية، حادثة، حادثة أكيدة وحادثة مستحيلة، ثم حساب احتمال. وهي لا تحتاج إلى حفظ كثير، فكل شيء ينبني على عد عناصر مجموعات. المهم أن تفهم المصطلحات واحدًا واحدًا، وأن تطبقها على مثال النرد. تعرض هذه الصفحة التجربة العشوائية، ثم مجموعة الإمكانيات، ثم أنواع الحوادث، ثم العمليات على الحوادث، ثم حساب الاحتمال، وتنتهي بأخطاء متكررة وتمارين محلولة.
التجربة العشوائية
التجربة العشوائية هي كل تجربة لا يمكن توقع نتيجتها رغم أننا نعرف كل نتائجها الممكنة.
مثال 1: رمي قطعة نقدية متوازنة (غير مزيفة). نعرف أن النتيجة إما «وجه» أو «ظهر»، لكن لا نستطيع أن نجزم بأيهما سيظهر.
مثال 2: رمي زهرة نرد منتظمة غير مزيفة. النتائج الممكنة: 1 و2 و3 و4 و5 و6، ولا يمكن التنبؤ بما سيظهر.
مجموعة الإمكانيات
مجموعة كل النتائج الممكنة تسمى مجموعة الإمكانيات أو المجموعة الكلية، ونرمز لها بـ Ω (أوميغا). في رمي الزهرة:
Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}
وعدد عناصرها card Ω = 6 (نسمي العدد الأصلي أو الكاردينال).
الحوادث
الحادثة هي مجموعة جزئية من Ω، أي تجمع بعض النتائج. وفي رمي الزهرة نعتبر:
A: الحصول على رقم زوجي.A = {2 ; 4 ; 6}وcard A = 3.B: الحصول على رقم فردي.B = {1 ; 3 ; 5}وcard B = 3.C: الحصول على رقم أكبر من أو يساوي6.C = {6}وcard C = 1.D: الحصول على رقم أكبر من أو يساوي3.D = {3 ; 4 ; 5 ; 6}وcard D = 4.E: الحصول على رقم أصغر تمامًا من7.E = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}وcard E = 6.F: الحصول على رقم أكبر تمامًا من6.F = ∅(لا يوجد).
وتسمى الحوادث بحسب عدد عناصرها:
- الحادثة البسيطة (الأولية): تحتوي عنصرًا واحدًا مثل
C. - الحادثة الأكيدة: تساوي
Ωكلها، فلا بد أن تقع مثلE. - الحادثة المستحيلة: لا تحتوي أي عنصر،
∅، فلا يمكن أن تقع مثلF.
العمليات على الحوادث
التقاطع
A ∩ D (تُقرأ: A وD معًا). هو مجموعة العناصر المشتركة بين الحادثتين.
A ∩ D = {4 ; 6} لأن 3 ليست في A، و4 و6 موجودتان في المجموعتين.
الاتحاد
A ∪ D (تُقرأ: A أو D). هو مجموعة العناصر الموجودة في إحدى الحادثتين على الأقل، دون تكرار أي عنصر.
A ∪ D = {2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}.
الحادثة العكسية
الحادثة العكسية لـ A هي كل ما ليس في A: Ā = {1 ; 3 ; 5}، وهي هنا الحادثة B.
حادثتان متنافيتان
حادثتان متنافيتان إذا لم يوجد عنصر مشترك بينهما، أي إذا كان تقاطعهما ∅. فـ A وB متنافيتان.
حساب الاحتمال
إذا كانت كل النتائج الممكنة متساوية الاحتمال (كما في النرد المتوازن) فإن احتمال حادثة A هو:
P(A) = card A ÷ card Ω
أي عدد الحالات المناسبة على عدد الحالات الممكنة.
P(A) = 3/6 = 1/2.P(B) = 3/6 = 1/2.P(C) = 1/6(حادثة بسيطة).P(D) = 4/6 = 2/3.P(E) = 6/6 = 1(حادثة أكيدة).P(F) = 0/6 = 0(حادثة مستحيلة).P(A ∩ D) = 2/6 = 1/3.P(A ∪ D) = 5/6.
خواص: الاحتمال دائمًا بين 0 و1، واحتمال الحادثة الأكيدة 1، واحتمال المستحيلة 0، واحتمال الحادثة العكسية P(Ā) = 1 − P(A).
كيف تحل تمرين احتمالات؟
- حدد التجربة ومجموعة الإمكانيات
Ωواكتب عناصرها. - اكتب كل حادثة بعناصرها.
- احسب
cardكل حادثة. - طبق
P(A) = card A ÷ card Ω. - اختصر الكسر في النهاية.
أخطاء شائعة
- الخلط بين الاتحاد («أو») والتقاطع («و»).
- تكرار العنصر المشترك عند كتابة الاتحاد.
- الخلط بين «أكبر من
6» (حادثة مستحيلة) و«أكبر من أو يساوي6» (حادثة بسيطة فيها العنصر6). - حساب الاحتمال بالقسمة على عدد عناصر الحادثة الأخرى بدل
card Ω. - استعمال القانون على نرد أو عملة مزيفة (النتائج غير متساوية الاحتمال).
- نسيان أن الاحتمال لا يزيد على
1.
تمارين للتدرب
نرمي زهرة نرد منتظمة. G: «رقم أكبر من 4». H: «رقم زوجي».
- اكتب
GوHبعناصرهما. - عيّن
G ∩ HوG ∪ H. - احسب
P(G)وP(H). - احسب
P(G ∩ H). - ما احتمال الحادثة العكسية لـ
G؟
الحلول:
G = {5 ; 6}وH = {2 ; 4 ; 6}.G ∩ H = {6}وG ∪ H = {2 ; 4 ; 5 ; 6}.P(G) = 2/6 = 1/3وP(H) = 3/6 = 1/2.P(G ∩ H) = 1/6.1 − 1/3 = 2/3.
الشرح المصوّر
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يشرح الأستاذ جوفر في فيديو «الاحتمالات 2 ثانوي من الألف إلى الياء، الجزء الأول» الدرس في نحو سبع وعشرين دقيقة، موجهًا للشعب العلمية والتقنية، ويبدأ من التجربة العشوائية ثم مجموعة الإمكانيات والحوادث على مثال النرد، ويصل إلى التقاطع والاتحاد وحساب احتمالات الحوادث.