الزوايا الموجهة وحساب المثلثات: المستوي الموجه والدائرة المثلثية وقياس الزاوية الموجهة والمعادلات المثلثية - السنة الثانية ثانوي علمي

عقارب الساعة تدور في اتجاه معروف، وإذا أردنا أن نصف دورة عجلة أو حركة نقطة على محيط دائرة فنحتاج إلى أن نتفق أولًا على اتجاه نسميه موجبًا. من هذه الفكرة البسيطة ينطلق درس الزوايا الموجهة وحساب المثلثات في السنة الثانية ثانوي لشعبتي العلوم التجريبية والتقني رياضي. وتتبعه أهمية خاصة في السنة الثالثة، لأن الأعداد المركبة تبنى كلها على قياس الزاوية الموجهة وعلى الدائرة المثلثية. تعرض هذه الصفحة توجيه المستوي والدائرة، ثم الزاوية الموجهة وقياساتها، ثم القياس الرئيسي، ثم خواص الجيب وتمام الجيب، ثم المعادلات المثلثية، وتنتهي بالإحداثيات القطبية وأخطاء شائعة وتمارين محلولة.

توجيه الدائرة والمستوي والدائرة المثلثية

توجيه دائرة هو اختيار اتجاه نتحرك به عليها. واصطلح على أن الاتجاه الموجب (أو المباشر) هو عكس اتجاه دوران عقارب الساعة.

توجيه المستوي هو اختيار اتجاه واحد للدوران في كل دوائره، فيصبح لدينا مستوي موجه.

الدائرة المثلثية هي كل دائرة موجهة في الاتجاه المباشر، نصف قطرها يساوي ⁦1⁩، ومركزها المبدأ.

الزاوية الموجهة

ليكن ⁦u⁩ و ⁦v⁩ شعاعين غير معدومين من مستوٍ موجه. الثنائية ⁦(u ; v)⁩ تعين زاوية موجهة. لنأخذ دائرة مثلثية مركزها ⁦O⁩، ونقطتين ⁦A⁩ و ⁦B⁩ على الدائرة بحيث الشعاع ⁦OA⁩ يوازي ⁦u⁩ وبنفس الاتجاه، والشعاع ⁦OB⁩ يوازي ⁦v⁩ وبنفس الاتجاه. نقيس الزاوية بالراديان، أي بدلالة العدد ⁦π⁩.

القياسات

لكل زاوية موجهة عدد غير منته من القياسات، لأننا نستطيع أن نضيف دورة كاملة أو أكثر دون أن تتغير الزاوية. إذا كان ⁦x⁩ أحد قياسات الزاوية فإن جميع قياساتها هي:

⁦x + 2kπ⁩ حيث ⁦k⁩ عدد صحيح نسبي.

مثال: إذا كان أحد قياسات زاوية هو ⁦π / 3⁩، فإن قياساتها الأخرى هي ⁦π / 3 + 2π⁩ و ⁦π / 3 - 2π⁩ و ⁦π / 3 + 4π⁩، وهكذا.

القياس الرئيسي

القياس الرئيسي لزاوية موجهة هو القياس الوحيد الذي ينتمي إلى المجال ⁦]-π ; π]⁩، أي أنه محصور بين ⁦-π⁩ (مستثنى) و ⁦π⁩ (مشمول). بالدرجات هو القياس بين ⁦-180⁩ و ⁦180⁩.

مثال: إيجاد القياس الرئيسي للزاوية التي قياسها ⁦13π / 3⁩. نكتب ⁦13π / 3 = π / 3 + 4π⁩، وبما أن ⁦4π = 2 × 2π⁩ فإن القياس الرئيسي هو ⁦π / 3⁩، لأنه ينتمي إلى المجال.

مثال آخر: القياس ⁦3π / 2⁩ ليس قياسًا رئيسيًا لأنه أكبر من ⁦π⁩. قياسه الرئيسي هو ⁦3π / 2 - 2π = -π / 2⁩.

خواص الزوايا الموجهة

ليكن ⁦u⁩ و ⁦v⁩ و ⁦w⁩ أشعة غير معدومة. تتحقق العلاقات التالية، والتساوي فيها يعني التساوي بتقريب مضاعفات ⁦2π⁩:

• علاقة شال: ⁦(u ; v) + (v ; w) = (u ; w)⁩.
• ⁦(v ; u) = -(u ; v)⁩.
• ⁦(-u ; v) = (u ; v) + π⁩، وكذلك ⁦(u ; -v) = (u ; v) + π⁩.
• ⁦(-u ; -v) = (u ; v)⁩.
• شعاعان ⁦u⁩ و ⁦v⁩ مرتبطان خطيًا إذا وفقط إذا كان قياس الزاوية ⁦(u ; v)⁩ يساوي ⁦0⁩ أو ⁦π⁩ بتقريب ⁦2π⁩.

الجيب وتمام الجيب

نقطة ⁦M⁩ على الدائرة المثلثية يحدد الشعاع ⁦OM⁩ زاوية قياسها ⁦x⁩. إحداثيا النقطة ⁦M⁩ هما ⁦(cos x ; sin x)⁩. من هنا نستنتج:

• ⁦cos² x + sin² x = 1⁩.
• ⁦-1 ≤ cos x ≤ 1⁩ و ⁦-1 ≤ sin x ≤ 1⁩.
• ⁦cos(x + 2kπ) = cos x⁩ و ⁦sin(x + 2kπ) = sin x⁩ (دورية).
• ⁦cos(-x) = cos x⁩ (زوجية) و ⁦sin(-x) = -sin x⁩ (فردية).

علاقات الزوايا المرتبطة

قيم خاصة

المعادلات المثلثية الأساسية

المعادلة cos x = cos a

حلولها: ⁦x = a + 2kπ⁩ أو ⁦x = -a + 2kπ⁩ حيث ⁦k⁩ عدد صحيح نسبي.

المعادلة sin x = sin a

حلولها: ⁦x = a + 2kπ⁩ أو ⁦x = π - a + 2kπ⁩ حيث ⁦k⁩ عدد صحيح نسبي.

مثال محلول

حل في ⁦R⁩ المعادلة ⁦cos x = 1 / 2⁩.

نكتب ⁦1 / 2 = cos(π / 3)⁩، فتصبح المعادلة ⁦cos x = cos(π / 3)⁩. إذن ⁦x = π / 3 + 2kπ⁩ أو ⁦x = -π / 3 + 2kπ⁩.

مثال ثانٍ

حل المعادلة ⁦sin x = √2 / 2⁩ في المجال ⁦[0 ; 2π]⁩.

نكتب ⁦√2 / 2 = sin(π / 4)⁩. الحلان العامان هما ⁦x = π / 4 + 2kπ⁩ و ⁦x = 3π / 4 + 2kπ⁩. في المجال المعطى نأخذ ⁦k = 0⁩ فنجد ⁦x = π / 4⁩ أو ⁦x = 3π / 4⁩.

المتراجحات المثلثية

نحل المتراجحة بالاستعانة بالدائرة المثلثية. مثلًا لحل ⁦cos x ≥ 1 / 2⁩ في ⁦]-π ; π]⁩، نرسم الدائرة ونحدد النقاط التي فاصلتها أكبر من أو تساوي ⁦1 / 2⁩، فنجد أن الحلول هي الأقواس المحصورة بين ⁦-π / 3⁩ و ⁦π / 3⁩، أي ⁦x ∈ [-π / 3 ; π / 3]⁩.

الإحداثيات القطبية

يعرض الأستاذ في الفيديو كذلك الإحداثيات القطبية. إذا كانت النقطة ⁦M⁩ فاصلتها ⁦x⁩ وترتيبها ⁦y⁩، فإن لها إحداثيتين قطبيتين ⁦(r ; θ)⁩ حيث ⁦r⁩ المسافة ⁦OM⁩ و ⁦θ⁩ قياس الزاوية ⁦(i ; OM)⁩. وتتحقق العلاقات:

⁦x = r cos θ⁩ و ⁦y = r sin θ⁩ و ⁦r = √(x² + y²)⁩.

ويفيد ذلك في تحويل العبارة ⁦a cos x + b sin x⁩ إلى الشكل ⁦r cos(x - φ)⁩ حيث ⁦r = √(a² + b²)⁩ و ⁦cos φ = a / r⁩ و ⁦sin φ = b / r⁩.

أخطاء شائعة

• اعتبار أن للزاوية قياسًا واحدًا فقط.
• أخذ قياس رئيسي خارج المجال ⁦]-π ; π]⁩، كأن يقال إن ⁦270⁩ درجة قياس رئيسي.
• الخلط بين علاقة شال وترتيب الأشعة. فـ ⁦(u ; v)⁩ تختلف عن ⁦(v ; u)⁩.
• نسيان إضافة ⁦2kπ⁩ في حل المعادلات، أو نسيان أحد الحلين.
• الخلط بين الدرجات والراديان في الحساب.
• نسيان أن ⁦sin x = sin a⁩ تعطي ⁦π - a⁩ وليس ⁦-a⁩.

تمارين للتدرب

1. أوجد القياس الرئيسي للزاوية التي قياسها ⁦25π / 6⁩.
2. حل في ⁦R⁩ المعادلة ⁦sin x = sin(π / 5)⁩.
3. إذا كان ⁦cos x = 3 / 5⁩ فأوجد ⁦sin² x⁩.
4. حل في ⁦R⁩ المعادلة ⁦cos x = cos(π / 6)⁩.

الحلول:

1. ⁦25π / 6 = π / 6 + 4π⁩، إذن القياس الرئيسي هو ⁦π / 6⁩.
2. ⁦x = π / 5 + 2kπ⁩ أو ⁦x = 4π / 5 + 2kπ⁩.
3. ⁦sin² x = 1 - cos² x = 1 - 9 / 25 = 16 / 25⁩.
4. ⁦x = π / 6 + 2kπ⁩ أو ⁦x = -π / 6 + 2kπ⁩.

الشرح المصوّر

لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يقدم الأستاذ نورالدين في فيديو «درس الزوايا الموجهة وحساب المثلثات والإحداثيات القطبية للثانية ثانوي» هذا الدرس في نحو ثلاث وأربعين دقيقة مع أمثلة، ويبدأ بالدائرة الموجهة والدائرة المثلثية وقياسات الزاوية الموجهة والقياس الرئيسي، ثم خواص الجيب وتمام الجيب والمعادلات المثلثية، وينتهي بالإحداثيات القطبية وحل المتراجحات المثلثية.