الزوايا الموجهة للسنة الثانية ثانوي: حساب جيب وجيب تمام الزاوية π/12 والزوايا المرتبطة بها خطوة بخطوة

يتناول هذا الدرس من وحدة الزوايا الموجهة وحساب المثلثات للسنة الثانية ثانوي تمرينا نموذجيا يظهر كثيرا في الفروض والاختبارات: نعطى فيه جيب تمام زاوية خاصة، ونطلب جيبها، ثم قيم زوايا مرتبطة بها. وفكرته أن معرفة قيمة واحدة تكفي لاستنتاج عدة قيم أخرى. تعرض الصفحة التمرين محلولا، وتنتهي بتمارين تدريبية.

نص التمرين

نعلم أن:

⁦cos(π/12) = (1/2) × sqrt(2 + sqrt(3))⁩

1. بين أن: ⁦sin(π/12) = (1/2) × sqrt(2 - sqrt(3))⁩.
2. استنتج ⁦tan(π/12)⁩.
3. استنتج قيمة كل من ⁦sin(11π/12)⁩ و⁦cos(11π/12)⁩.
4. استنتج قيمة كل من ⁦sin(23π/12)⁩ و⁦cos(23π/12)⁩.

القواعد المستعملة

الدائرة المثلثية دائرة مركزها المبدأ ونصف قطرها 1، موجهة في الاتجاه المباشر (عكس عقارب الساعة). إذا كانت ⁦M⁩ نقطة منها ترتبط بالزاوية ⁦x⁩، فإن:

• فاصلة ⁦M⁩ هي ⁦cos x⁩.
• ترتيب ⁦M⁩ هو ⁦sin x⁩.

والعلاقة الأساسية:

⁦cos²x + sin²x = 1⁩

الحل

السؤال الأول: جيب π/12

من العلاقة الأساسية: ⁦sin²(π/12) = 1 - cos²(π/12)⁩.

نعوض: ⁦cos²(π/12) = (1/4) × (2 + sqrt(3))⁩، لأن تربيع الجذر يلغيه، فنحصل على:

⁦sin²(π/12) = 1 - (2 + sqrt(3))/4 = (4 - 2 - sqrt(3))/4 = (2 - sqrt(3))/4⁩

انتبه لإشارة الطرح: يوزع الناقص على الحدين معا، فيصبح ⁦-2 - sqrt(3)⁩.

ولأن الزاوية ⁦π/12⁩ تقع في الربع الأول حيث الجيب موجب، نأخذ الجذر الموجب:

⁦sin(π/12) = (1/2) × sqrt(2 - sqrt(3))⁩

السؤال الثاني: الظل

⁦tan(π/12) = sin(π/12) / cos(π/12) = sqrt(2 - sqrt(3)) / sqrt(2 + sqrt(3))⁩

وبعد التبسيط (ضرب البسط والمقام في المرافق) نجد ⁦tan(π/12) = 2 - sqrt(3)⁩.

السؤال الثالث: الزاوية 11π/12

نكتب: ⁦11π/12 = π - π/12⁩، وهي زوايا متكاملة، فنستعمل:

السؤال الرابع: الزاوية 23π/12

نكتب: ⁦23π/12 = 2π - π/12⁩، وهي زاوية مقابلة للزاوية ⁦π/12⁩ (بإضافة دورة كاملة)، فنستعمل:

الزوايا الشهيرة

لحفظ قيم الجيب للزوايا الشهيرة ⁦0⁩ و⁦π/6⁩ و⁦π/4⁩ و⁦π/3⁩ و⁦π/2⁩ اكتب الأرقام 0 و1 و2 و3 و4 ثم اقسم كل رقم على 2 وخذ جذره:

⁦sin = sqrt(0)/2 , sqrt(1)/2 , sqrt(2)/2 , sqrt(3)/2 , sqrt(4)/2⁩

أي: 0 و⁦1/2⁩ و⁦sqrt(2)/2⁩ و⁦sqrt(3)/2⁩ و1. أما جيب التمام فهو القائمة نفسها بترتيب معكوس.

تمارين تدريبية

1. إذا كان ⁦cos x = 3/5⁩ و⁦x⁩ في الربع الأول فاحسب ⁦sin x⁩. (الناتج ⁦4/5⁩)
2. احسب ⁦sin(7π/6)⁩. (الناتج ⁦-1/2⁩ لأن ⁦7π/6 = π + π/6⁩)
3. احسب ⁦cos(-π/3)⁩. (الناتج ⁦1/2⁩ لأن جيب التمام دالة زوجية)
4. اكتب الزاوية ⁦25π/6⁩ على الشكل ⁦x + 2kπ⁩. (الناتج ⁦π/6 + 4π⁩)

نصائح

• ارسم الدائرة المثلثية وعين النقطة قبل استعمال أي قاعدة.
• حدد الربع الذي تقع فيه الزاوية لتعرف إشارة الجيب وجيب التمام.
• اكتب الزاوية المطلوبة بدلالة زاوية معلومة، مثل ⁦π - x⁩ أو ⁦2π - x⁩.

أخطاء شائعة

• نسيان توزيع إشارة الناقص على كل حدود البسط.
• نسيان إشارة الجذر عند استخراج جيب الزاوية من مربعه.
• الخلط بين ⁦sin(π - x)⁩ و⁦cos(π - x)⁩.

الشرح المصوّر

لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يقدم الأستاذ نورالدين في فيديو «الزوايا الموجهة للثانية ثانوي رقم 1» هذا التمرين في نحو إحدى وثلاثين دقيقة.