المتتاليات العددية الحسابية والهندسية: التعريف والحد العام والمجموع واتجاه التغير - السنة الثانية ثانوي

المتتالية العددية قائمة أعداد مرتبة، ونحن نتعامل معها يوميًا دون أن ندري: أقساط تتزايد كل شهر بالمبلغ نفسه، ومبلغ مدخر يتضاعف كل عام بنسبة ثابتة، وعدد تلاميذ يتناقص كل سنة. وفي الرياضيات نتعلم أن نصف هذه التغيرات بدقة، وأهمها نوعان: المتتالية الحسابية والمتتالية الهندسية. تعرض هذه الصفحة التعريف بالمتتالية عمومًا، ثم الحسابية، ثم الهندسية، ثم أمثلة وطريقة التعامل مع متتاليات من نوع أعقد، وتنتهي بأخطاء متكررة وتمارين محلولة.

المتتالية العددية

المتتالية العددية ⁦u⁩ هي دالة معرّفة على مجموعة الأعداد الطبيعية ⁦ℕ⁩ (أو على جزء منها) وقيمها أعداد حقيقية. نكتب ⁦u_n⁩ بدل ⁦u(n)⁩ وهو الحد العام، و ⁦u_0⁩ الحد الأول إذا بدأ الترقيم من 0. ويُعرَّف حدها العام بإحدى طريقتين:

• صريحًا: ⁦u_n = f(n)⁩ فنحسب أي حد مباشرة بالتعويض، مثل ⁦u_n = 2n + 1⁩.
• بالتراجع: نعطي الحد الأول وعلاقة تربط كل حد بسابقه، مثل ⁦u_0 = 1⁩ و ⁦u_(n+1) = 2 u_n + 3⁩.

اتجاه التغير. المتتالية متزايدة إذا كان ⁦u_(n+1) − u_n ≥ 0⁩ من أجل كل ⁦n⁩، ومتناقصة إذا كان ⁦u_(n+1) − u_n ≤ 0⁩، ومتناقصة تمامًا أو متزايدة تمامًا إذا كانت المتباينة تامة. ونعتمد دراسة إشارة الفرق ⁦u_(n+1) − u_n⁩. وإذا كانت كل حدود المتتالية موجبة تمامًا أمكن مقارنة النسبة ⁦u_(n+1) / u_n⁩ بالعدد 1.

المتتالية الحسابية

نقول إن ⁦(u_n)⁩ حسابية إذا وجد عدد حقيقي ⁦r⁩ يسمى الأساس بحيث ⁦u_(n+1) = u_n + r⁩ من أجل كل ⁦n⁩. أي أن الفرق بين كل حد وسابقه ثابت. وللبرهان على أن متتالية حسابية لا يكفي أن تحسب أول الفروق بل يجب أن تثبت أن ⁦u_(n+1) − u_n⁩ يساوي ثابتًا مستقلًا عن ⁦n⁩.

• الحد العام: ⁦u_n = u_p + (n − p) × r⁩، وفي حالة الحد الأول ⁦u_0⁩ تصبح ⁦u_n = u_0 + n × r⁩.
• اتجاه التغير: إذا كان ⁦r > 0⁩ فالمتتالية متزايدة تمامًا، وإذا كان ⁦r < 0⁩ فمتناقصة تمامًا، وإذا كان ⁦r = 0⁩ فهي ثابتة وكل حدودها تساوي حدها الأول.
• مجموع حدود متتابعة: ⁦S = (عدد الحدود) × (الحد الأول + الحد الأخير) / 2⁩. ومثاله ⁦1 + 2 + … + n = n (n + 1) / 2⁩.
• خاصية الوسط: ثلاثة أعداد ⁦a⁩ و ⁦b⁩ و ⁦c⁩ بهذا الترتيب هي حدود متتابعة لمتتالية حسابية إذا وفقط إذا كان ⁦2b = a + c⁩.

المتتالية الهندسية

نقول إن ⁦(v_n)⁩ هندسية إذا وجد عدد حقيقي ⁦q⁩ غير معدوم يسمى الأساس بحيث ⁦v_(n+1) = q × v_n⁩. أي أن خارج قسمة كل حد على سابقه ثابت.

• الحد العام: ⁦v_n = v_p × q^(n − p)⁩، وفي حالة الحد الأول ⁦v_n = v_0 × q^n⁩.
• اتجاه التغير (حين ⁦v_0 > 0⁩): متزايدة تمامًا إذا كان ⁦q > 1⁩، ومتناقصة تمامًا إذا كان ⁦0 < q < 1⁩، وثابتة إذا كان ⁦q = 1⁩، وغير رتيبة إذا كان ⁦q < 0⁩ لأن إشارة الحدود تتناوب. وإذا كان ⁦v_0 < 0⁩ انعكست النتائج.
• مجموع حدود متتابعة (حين ⁦q ≠ 1⁩): ⁦S = (الحد الأول) × (1 − q^(عدد الحدود)) / (1 − q)⁩.
• خاصية الوسط: ⁦a⁩ و ⁦b⁩ و ⁦c⁩ حدود متتابعة لمتتالية هندسية إذا كان ⁦b² = a × c⁩.

أمثلة محلولة

مثال 1: حسابية. ⁦u_0 = 3⁩ وأساسها ⁦r = 2⁩. الحد العاشر ⁦u_10 = 3 + 10 × 2 = 23⁩. ومجموع الحدود من ⁦u_0⁩ إلى ⁦u_10⁩، وعددها 11، هو ⁦11 × (3 + 23) / 2 = 143⁩.

مثال 2: هندسية. ⁦v_0 = 2⁩ وأساسها ⁦q = 3⁩. الحد الخامس ⁦v_5 = 2 × 3⁵ = 486⁩. ومجموع الحدود من ⁦v_0⁩ إلى ⁦v_5⁩، وعددها 6، هو ⁦2 × (1 − 3⁶) / (1 − 3) = 2 × (−728) / (−2) = 728⁩.

مثال 3: متتالية بالتراجع. ⁦u_0 = 1⁩ و ⁦u_(n+1) = 2 u_n + 3⁩. نبحث عن متتالية مساعدة هندسية: نضع ⁦v_n = u_n + 3⁩. فيكون ⁦v_(n+1) = u_(n+1) + 3 = 2 u_n + 6 = 2 (u_n + 3) = 2 v_n⁩. إذن ⁦(v_n)⁩ هندسية أساسها 2 وحدها الأول ⁦v_0 = 4⁩، ومنه ⁦v_n = 4 × 2^n⁩، وبالتالي ⁦u_n = 4 × 2^n − 3⁩. تحقق: ⁦u_1 = 2 × 1 + 3 = 5⁩ وفي الصيغة ⁦4 × 2 − 3 = 5⁩.

مثال 4: تطبيق. وُضع مبلغ 1000 دج بفائدة مركبة 5% سنويًا. المبلغ بعد ⁦n⁩ سنة ⁦1000 × 1.05^n⁩، وهو حد متتالية هندسية أساسها ⁦1.05⁩.

أخطاء شائعة

• الخلط بين الحد العام ⁦u_n⁩ ومجموع الحدود ⁦S_n⁩.
• خطأ في عدد حدود المجموع. من الحد ⁦p⁩ إلى الحد ⁦n⁩ عدد الحدود ⁦n − p + 1⁩ وليس ⁦n − p⁩.
• الاستنتاج أن المتتالية حسابية لأن الفروق الأولى متساوية. يلزم برهان عام.
• القول إن المتتالية الهندسية متزايدة لأن ⁦q > 1⁩، دون النظر إلى إشارة الحد الأول.
• استعمال قانون المجموع الهندسي عندما ⁦q = 1⁩، فيصير المقام معدومًا. في هذه الحالة المجموع عدد الحدود مضروبًا في الحد الأول.
• نسيان الشرط ⁦q ≠ 0⁩ في تعريف المتتالية الهندسية.

تمارين للتدرب

1. متتالية حسابية فيها ⁦u_3 = 7⁩ و ⁦u_8 = 22⁩. أوجد أساسها وحدها الأول وحدها العام.
2. احسب مجموع ⁦u_0⁩ إلى ⁦u_19⁩ للمتتالية الحسابية ⁦u_n = 3n − 2⁩.
3. متتالية هندسية ⁦v_0 = 5⁩ وأساسها ⁦1 / 2⁩. احسب ⁦v_4⁩.
4. بيّن أن المتتالية ⁦w_n = 3 × 2^n⁩ هندسية وعيّن أساسها.
5. ⁦u_0 = 3⁩ و ⁦u_(n+1) = 3 u_n − 4⁩. بيّن أن ⁦v_n = u_n − 2⁩ هندسية، ثم اكتب ⁦u_n⁩ بدلالة ⁦n⁩.

الحلول:

1. ⁦r = (22 − 7) / (8 − 3) = 3⁩، و ⁦u_0 = 7 − 3 × 3 = −2⁩، والحد العام ⁦u_n = 3n − 2⁩.
2. ⁦u_19 = 3 × 19 − 2 = 55⁩، والمجموع ⁦20 × (−2 + 55) / 2 = 530⁩.
3. ⁦v_4 = 5 × (1 / 2)⁴ = 5 / 16⁩.
4. ⁦w_(n+1) / w_n = 3 × 2^(n+1) / (3 × 2^n) = 2⁩، فهي هندسية أساسها 2.
5. ⁦v_(n+1) = u_(n+1) − 2 = 3 u_n − 6 = 3 (u_n − 2) = 3 v_n⁩، فـ ⁦(v_n)⁩ هندسية أساسها 3 وحدها الأول ⁦v_0 = 1⁩. إذن ⁦v_n = 3^n⁩ و ⁦u_n = 3^n + 2⁩.

الشرح المصوّر وملفات التمارين

لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يعرض الأستاذ نورالدين في فيديو «ملخص في المتتاليات للسنة الثانية ثانوي (حسابية وهندسية)» الدرس في نحو أربع عشرة دقيقة، مبتدئًا بتعريف المتتالية الحسابية والأساس ومشيرًا إلى أن الأساس إذا انعدم صارت المتتالية ثابتة.

وللتطبيق على تمارين الكتاب المدرسي، اطلع على هذا الملف في الموقع:

• رياضيات 2AS: المتتاليات العددية حلول تمارين الكتاب المدرسي من 01 إلى 103