أول درس في الرياضيات للسنة الثانية ثانوي (الشعب العلمية) هو مراجعة حول الدوال، يذكر بما درس في السنة الأولى حتى تكون البداية قوية، لأن أول وحدة في السنة الثانية هي الدوال أيضا. وفي المراجعة نتناول اتجاه تغير دالة، ثم نذكر بالدوال المرجعية وتمثيلها البياني. تعرض الصفحة الأفكار بطريقة منظمة، وتنتهي بتمارين.
اتجاه تغير دالة
لدالة معرفة على مجال I ثلاث حالات:
| الحالة | المعنى |
|---|---|
| متزايدة تماما | إذا كان x₁ < x₂ فإن f(x₁) < f(x₂) |
| متناقصة تماما | إذا كان x₁ < x₂ فإن f(x₁) > f(x₂) |
| ثابتة | f(x₁) = f(x₂) |
الدوال المرجعية
| الدالة | العبارة | مجموعة التعريف |
|---|---|---|
| المربع | f(x) = x² |
R |
| المقلوب | f(x) = 1/x |
R ما عدا 0 |
| الجذر التربيعي | f(x) = sqrt(x) |
[0 , +inf[ |
| القيمة المطلقة | f(x) = abs(x) |
R |
| الدالة التآلفية | f(x) = ax + b |
R |
دراسة اتجاه تغير الدالة مربع بالمقارنة
الدالة f(x) = x² معرفة على R، فنقسم المجال إلى قسمين: ]-inf , 0] و[0 , +inf[.
على المجال السالب
نأخذ عددين x₁ وx₂ من ]-inf , 0] بحيث x₁ < x₂ ≤ 0. كلاهما سالب.
نربع الطرفين: لأن العددين سالبان فإن التربيع يعكس اتجاه المتباينة (مثال: -3 < -2 لكن 9 > 4). إذن:
x₁² > x₂² أي f(x₁) > f(x₂)
فالدالة متناقصة تماما على ]-inf , 0].
على المجال الموجب
إذا كان 0 ≤ x₁ < x₂ فكلاهما موجب، والتربيع يحافظ على اتجاه المتباينة (مثال: 2 < 3 و4 < 9). إذن:
x₁² < x₂² أي f(x₁) < f(x₂)
فالدالة متزايدة تماما على [0 , +inf[.
جدول التغيرات
x |
-inf |
0 | +inf |
|---|---|---|---|
f(x) |
نازلة | 0 | صاعدة |
وللدالة قيمة صغرى تساوي 0 عند x = 0، ويكون تمثيلها قطعا مكافئا رأسه المبدأ، محور تناظره محور التراتيب لأنها زوجية.
الدالة مقلوب
الدالة f(x) = 1/x متناقصة تماما على كل من ]-inf , 0[ و]0 , +inf[، لكنها ليست متناقصة على اتحادهما: فالعدد -1 أصغر من 1، لكن f(-1) = -1 أصغر من f(1) = 1 أيضا. وتمثيلها قطع زائد نقطة تناظره المبدأ لأنها فردية.
خطوات إثبات اتجاه التغير بالمقارنة
- خذ
x₁وx₂من المجال بحيثx₁ < x₂. - طبق الدالة على الطرفين وتتبع أثر العملية في اتجاه المتباينة.
- قارن
f(x₁)وf(x₂). - استنتج اتجاه التغير على المجال.
تمارين
- ما اتجاه تغير
f(x) = sqrt(x)على[0 , +inf[؟ (متزايدة تماما) - قارن
(-5)²و(-3)²ثم استنتج اتجاه تغير المربع على المجال السالب. (25 أكبر من 9، فهي متناقصة) - هل
f(x) = 1/xزوجية أم فردية؟ (فردية)
نصائح
- اكتب دائما المجال قبل بدء المقارنة.
- افصل المجالين السالب والموجب عند تربيع المتباينات.
- احتفظ بكراس لرسم منحنيات الدوال المرجعية.
أخطاء شائعة
- تربيع متباينة بين عددين سالبين دون عكس اتجاهها.
- القول إن المقلوب متناقصة على كل مجموعة تعريفها.
- الخلط بين الدالة الزوجية والفردية.
أسئلة يطرحها الأولياء
س: كم من الوقت أخصص لمراجعة هذا الدرس؟ ج: عشرون دقيقة يوميًا لمدة ثلاثة أيام تكفي، مع تمرينين في اليوم الرابع للتأكد من الفهم.
س: ابني يعرف الدرس لكنه يخطئ في الاختبار، لماذا؟ ج: غالبًا بسبب التسرع أو عدم قراءة التعليمة جيدًا. درّبه على قراءة السؤال مرتين وتسطير الكلمات المهمة قبل الإجابة، وعلى مراجعة الجواب في آخر الحصة.
س: هل أعتمد على الكتب الخارجية؟ ج: يمكن الاستعانة بها بعد إتقان الكتاب المدرسي، والأهم أن يفهم الطفل لا أن يحل أكبر عدد من التمارين.
كيف أتحقق من أن الدرس قد فهم؟
اطلب من ابنك أن يشرح الدرس لك أو لأخيه الأصغر بكلماته، وأن يعطي مثالًا من عنده، وأن يحل تمرينًا لم يره من قبل. فإذا استطاع ذلك فقد فهم، وإن تردد فعد معه إلى الأمثلة الملموسة ثم أعد التجربة.
الشرح المصوّر
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يقدم الأستاذ سليم مختارة في فيديو «الدرس 01: مراجعة حول الدوال للسنة الثانية ثانوي (الشعب العلمية)» هذه المراجعة في نحو أربع وعشرين دقيقة.