لماذا يدرس التلميذ الدالة x² ثم يجد بعدها دالة مثل x² + 5 أو -3x²؟ هل عليه أن يبدأ دراسة التغيرات من الصفر في كل مرة؟ الجواب لا، فهناك قواعد تنقل اتجاه تغير دالة معلومة إلى دوال مشتقة منها، فتوفر الجهد. وهذا هو موضوع هذا الدرس من السنة الثانية ثانوي: استنتاج اتجاه تغير الدالتين f + k و λf انطلاقًا من اتجاه تغير f. وهو درس يظهر في كل اختبار تقريبًا، لأن كثيرًا من الدوال في التمارين تكتب بهذا الشكل. تعرض هذه الصفحة تذكيرًا بمفهوم اتجاه التغير، ثم مبرهنة الدالة f + k، ثم مبرهنة الدالة λf، ثم أمثلة محلولة، وتنتهي بأخطاء شائعة وتمارين.
تذكير: ما اتجاه التغير؟
لتكن f دالة معرفة على مجال I.
fمتزايدة تمامًا علىIإذا كان لكلaوbمنIمعa < bلديناf(a) < f(b).fمتناقصة تمامًا علىIإذا كان لكلaوbمنIمعa < bلديناf(a) > f(b).fرتيبة تمامًا علىIإذا كانت إما متزايدة تمامًا فقط أو متناقصة تمامًا فقط على هذا المجال.
والدالة التي تصعد ثم تهبط أو العكس ليست رتيبة على المجال كله، لكنها قد تكون رتيبة على مجالات جزئية منه.
الدالة f + k
المبرهنة: لتكن f دالة معرفة على مجال I ولتكن k عددًا حقيقيًا. الدالتان f و f + k لهما نفس اتجاه التغير على I.
البرهان
نفرض أن f متزايدة تمامًا على I. ليكن a < b من I. إذن f(a) < f(b). بإضافة k إلى طرفي المتباينة نجد f(a) + k < f(b) + k، أي (f + k)(a) < (f + k)(b). فالدالة f + k متزايدة تمامًا. والبرهان نفسه إذا كانت f متناقصة.
المعنى الهندسي
منحنى f + k هو منحنى f منسحبًا بمقدار k وحدة نحو الأعلى (إذا كان k موجبًا) أو نحو الأسفل (إذا كان k سالبًا). والانسحاب العمودي لا يغير شكل المنحنى ولا صعوده ولا هبوطه.
الدالة λf
المبرهنة: لتكن f دالة معرفة على مجال I ولتكن λ عددًا حقيقيًا غير معدوم.
- إذا كان
λ > 0فإنλfلها نفس اتجاه تغيرfعلىI. - إذا كان
λ < 0فإنλfلها عكس اتجاه تغيرfعلىI.
البرهان
نفرض أن f متزايدة تمامًا على I، وليكن a < b من I، إذن f(a) < f(b).
- إذا كان
λ > 0: نضرب طرفي المتباينة فيλفيبقى الاتجاه،λf(a) < λf(b)، فـλfمتزايدة تمامًا. - إذا كان
λ < 0: نضرب في عدد سالب فينعكس اتجاه المتباينة،λf(a) > λf(b)، فـλfمتناقصة تمامًا.
ملخص
| الدالة | اتجاه تغيرها بالنسبة إلى f |
|---|---|
f + k |
نفسه، مهما كان k |
λf مع λ موجب |
نفسه |
λf مع λ سالب |
عكسه |
أمثلة محلولة
المثال 1
نعتبر f(x) = x² على [0 ; +∞[، وهي متزايدة تمامًا. ادرس اتجاه تغير:
g(x) = x² + 5: هيf + 5، إذن متزايدة تمامًا على[0 ; +∞[.h(x) = -2x²: هي-2f، و-2سالب، فهي متناقصة تمامًا على[0 ; +∞[.k(x) = 3x² - 4: هي3f - 4. نطبق القاعدتين على التوالي:3fمتزايدة (لأن3موجب) ثم طرح4لا يغير الاتجاه، فهي متزايدة تمامًا.
المثال 2
نعتبر f(x) = x² على ]-∞ ; 0]، وهي متناقصة تمامًا هناك. إذن:
g(x) = x² + 5متناقصة تمامًا على]-∞ ; 0].h(x) = -2x²متزايدة تمامًا على]-∞ ; 0]لأننا ضربنا في عدد سالب.
جدول تغيرات
الدالة h(x) = -2x² + 3 على R:
x²متناقصة على]-∞ ; 0]ومتزايدة على[0 ; +∞[.-2x²عكس ذلك: متزايدة على]-∞ ; 0]ومتناقصة على[0 ; +∞[.- إضافة
3لا تغير الاتجاه، فتكونhمتزايدة على]-∞ ; 0]ومتناقصة على[0 ; +∞[. - القيمة عند
0هيh(0) = 3، وهي أكبر قيمة للدالة علىR.
المثال 3: دالة تآلفية
نعتبر f(x) = x المتزايدة على R. إذن الدالة g(x) = 2x + 3 متزايدة (لأن 2 موجب)، والدالة h(x) = -x + 1 متناقصة (لأن -1 سالب).
أخطاء شائعة
- الاعتقاد أن إضافة
kتغير اتجاه التغير. الإضافة تنسحب بالمنحنى ولا تغير صعوده. - نسيان أن الضرب في عدد سالب يعكس الاتجاه.
- تطبيق القاعدة على مجال تكون فيه
fغير رتيبة. - تطبيق القاعدة عندما
λ = 0فتصبح الدالة ثابتة. - الخلط بين اتجاه تغير
λfواتجاه تغيرfعند المقارنة بين الصور. - إهمال تحديد المجال عند الإجابة.
تمارين للتدرب
- دالة
fمتناقصة تمامًا على[1 ; 5]. ما اتجاه تغيرf + 7و3fو-2fعلى هذا المجال؟ - استنتج اتجاه تغير
g(x) = -4x² + 1على[0 ; +∞[. - هل الدالة
h(x) = 5 - 3xمتزايدة أم متناقصة علىR؟
الحلول:
f + 7متناقصة، و3fمتناقصة، و-2fمتزايدة.x²متزايدة على[0 ; +∞[و-4سالب، فـgمتناقصة تمامًا على[0 ; +∞[.h = -3x + 5، والدالةxمتزايدة و-3سالب، فـhمتناقصة علىR.
الشرح المصوّر
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يقدم الأستاذ جوفر في الرياضيات في فيديو «استنتاج اتجاه تغير الدوال للسنة الثانية ثانوي» هذا الدرس في نحو ست عشرة دقيقة، ويبدأ بمبرهنة اتجاه تغير الدالة f + k ثم الدالة λf، ويطبقهما على أمثلة حتى يتمكن التلميذ من استعمال القاعدتين في الاختبارات.