من أكثر المسائل التي تحير تلاميذ السنة الثانية ثانوي في وحدة عموميات حول الدوال مسألة استنتاج اتجاه تغير دالة انطلاقا من اتجاه تغير دالة مرجعية معلومة. والدرس يعتمد على مبرهنات بسيطة تصلح لكل الحالات. تقدم الصفحة المخطط: النظرية، ثم المبرهنة في كل حالة، ثم مثال، وتنتهي بتطبيق شامل وتمارين.
تعريف الدالة الرتيبة
نقول إن الدالة
fرتيبة على المجالIإذا كانت متزايدة تماما علىIأو متناقصة تماما عليه.
وتذكير باتجاهي التغير:
- متزايدة: إذا كان
x₁ < x₂فإنf(x₁) < f(x₂). - متناقصة: إذا كان
x₁ < x₂فإنf(x₁) > f(x₂).
الحالة الأولى: إضافة ثابت إلى الدالة
لتكن f دالة رتيبة على مجال I وk عددا حقيقيا. فإن:
الدالتان
fوf + kلهما اتجاه التغير نفسه علىI.
والسبب أن إضافة ثابت تنقل المنحنى عموديا دون أن تغير شكل تغيره.
مثال: f(x) = x² متزايدة على [0 , +inf[، إذن g(x) = x² + 5 متزايدة على المجال نفسه.
الحالة الثانية: ضرب الدالة في ثابت
لتكن f دالة رتيبة على I وk عددا حقيقيا غير معدوم. فإن:
إشارة k |
اتجاه تغير k f |
|---|---|
k > 0 |
نفس اتجاه تغير f |
k < 0 |
عكس اتجاه تغير f |
والسبب: الضرب في عدد موجب يحافظ على اتجاه المتباينة، والضرب في سالب يعكسها.
مثال: f(x) = x² متناقصة على ]-inf , 0].
h(x) = 3x²متناقصة أيضا على]-inf , 0].m(x) = -2x²متزايدة على]-inf , 0](عكس الاتجاه).
الحالة الثالثة: جذر الدالة
إذا كانت f دالة موجبة على I، فإن الدالتين f وsqrt(f) لهما اتجاه التغير نفسه على I، لأن دالة الجذر التربيعي متزايدة.
مثال: f(x) = x² + 1 موجبة ومتزايدة على [0 , +inf[، فـsqrt(x² + 1) متزايدة عليه.
الحالة الرابعة: مقلوب الدالة
إذا كانت f دالة رتيبة وموجبة تماما (أو سالبة تماما) على I، فإن f و1/f لهما اتجاها تغير متعاكسان.
مثال: f(x) = x + 2 متزايدة وموجبة على ]-2 , +inf[، إذن 1/(x + 2) متناقصة على ]-2 , +inf[.
ملخص الحالات
| الدالة الجديدة | شرط | اتجاه التغير |
|---|---|---|
f + k |
f رتيبة |
نفسه |
k f |
k > 0 |
نفسه |
k f |
k < 0 |
عكسه |
sqrt(f) |
f موجبة |
نفسه |
1/f |
f لا تنعدم وذات إشارة ثابتة |
عكسه |
مثال تطبيقي شامل
ادرس اتجاه تغير g(x) = -2 sqrt(x - 1) + 3 على [1 , +inf[.
x - 1متزايدة على[1 , +inf[وموجبة.sqrt(x - 1)متزايدة (نفس الاتجاه).-2 sqrt(x - 1)متناقصة لأنk = -2 < 0.- إضافة
3لا تغير الاتجاه، إذنgمتناقصة على[1 , +inf[.
تمارين
- ما اتجاه تغير
h(x) = 4/xعلى]0 , +inf[؟ (متناقصة، لأن1/xمتناقصة و4 > 0) - ادرس
f(x) = -x² + 7على[0 , +inf[. (متناقصة) - ما اتجاه تغير
1/(x² + 1)على[0 , +inf[؟ (متناقصة)
نصائح
- حدد الدالة المرجعية أولا ثم طبق المبرهنات بالترتيب.
- انتبه إلى إشارة الثابت في الضرب.
- ادرس إشارة الدالة قبل أخذ المقلوب.
أخطاء شائعة
- القول إن الضرب في سالب لا يغير الاتجاه.
- أخذ مقلوب دالة تغير إشارتها على المجال.
- نسيان تعيين المجال قبل الاستنتاج.
الشرح المصوّر
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يقدم الأستاذ عبد الباسط في فيديو «درس استنتاج اتجاه التغير، عموميات حول الدوال، السنة الثانية ثانوي» هذا الدرس في نحو أربع وثلاثين دقيقة.