تعيين محور تناظر ومركز تناظر لمنحنى دالة للسنة الثانية ثانوي: الطرق الثلاث مع تطبيقات

بعد درس دساتير تغيير المعلم يأتي درس تعيين محور ومركز تناظر، وهو في الأساس تطبيقي أكثر منه نظري. والفكرة أن نبين أن منحنى دالة متناظر بالنسبة لمستقيم أو لنقطة. تعرض الصفحة الشروط والطرق، وتنتهي بتطبيقات.

أولا: محور التناظر

المستقيم ⁦x = a⁩ محور تناظر لمنحنى ⁦f⁩ إذا تحقق الشرطان: 1. من أجل كل ⁦x⁩ من ⁦Df⁩ فإن ⁦(2a - x)⁩ ينتمي إلى ⁦Df⁩. 2. من أجل كل ⁦x⁩ من ⁦Df⁩: ⁦f(2a - x) = f(x)⁩.

أي أن صورة النقطة ⁦M(x ; f(x))⁩ بالتناظر بالنسبة لـ⁦x = a⁩ هي نقطة من المنحنى.

مثال 1

⁦f(x) = x² - 4x + 1⁩، ⁦Df = R⁩. أثبت أن ⁦x = 2⁩ محور تناظر.

• لكل ⁦x⁩ من ⁦R⁩: ⁦4 - x⁩ ينتمي إلى ⁦R⁩.
• ⁦f(4 - x) = (4 - x)² - 4(4 - x) + 1 = 16 - 8x + x² - 16 + 4x + 1 = x² - 4x + 1 = f(x)⁩.
• إذن ⁦x = 2⁩ محور تناظر.

ثانيا: مركز التناظر

النقطة ⁦Ω(a ; b)⁩ مركز تناظر لمنحنى ⁦f⁩ إذا تحقق: 1. من أجل كل ⁦x⁩ من ⁦Df⁩ فإن ⁦(2a - x)⁩ ينتمي إلى ⁦Df⁩. 2. من أجل كل ⁦x⁩ من ⁦Df⁩: ⁦f(2a - x) + f(x) = 2b⁩.

مثال 2

⁦f(x) = (2x + 1)/(x - 1)⁩، ⁦Df = R⁩ ما عدا ⁦1⁩. أثبت أن ⁦Ω(1 ; 2)⁩ مركز تناظر.

• لكل ⁦x ≠ 1⁩: ⁦2 - x ≠ 1⁩ أيضا.
• ⁦f(2 - x) = (2(2 - x) + 1)/((2 - x) - 1) = (5 - 2x)/(1 - x)⁩.
• ⁦f(2 - x) + f(x) = (5 - 2x)/(1 - x) + (2x + 1)/(x - 1) = (5 - 2x - 2x - 1)/(1 - x) = (4 - 4x)/(1 - x) = 4⁩.
• ⁦2b = 4⁩ فـ⁦b = 2⁩: إذن ⁦Ω(1 ; 2)⁩ مركز تناظر.

ثالثا: الطريقة الثانية، تغيير المعلم

نغير المعلم إلى ⁦(Ω ; i , j)⁩ فنضع ⁦x = X + a⁩ و⁦y = Y + b⁩، ثم نحسب المعادلة في المعلم الجديد ⁦Y = g(X)⁩:

• إذا كانت ⁦g⁩ زوجية (⁦g(-X) = g(X)⁩): المستقيم ⁦X = 0⁩ أي ⁦x = a⁩ محور تناظر.
• إذا كانت ⁦g⁩ فردية (⁦g(-X) = -g(X)⁩): النقطة ⁦Ω⁩ مركز تناظر.

مثال 3

نفس الدالة ⁦f(x) = (2x + 1)/(x - 1)⁩ والنقطة ⁦Ω(1 ; 2)⁩:

• نضع ⁦x = X + 1⁩ و⁦y = Y + 2⁩: ⁦Y + 2 = (2X + 3)/X⁩.
• ⁦Y = (2X + 3)/X - 2 = 3/X⁩.
• ⁦g(X) = 3/X⁩ فردية، إذن ⁦Ω⁩ مركز تناظر.

جدول الخلاصة

خطوات الحل

1. تحقق أن مجموعة التعريف متناظرة بالنسبة لـ⁦a⁩.
2. احسب ⁦f(2a - x)⁩.
3. قارن حسب الحالة (مساواة أو مجموع).
4. اكتب الاستنتاج.

تمارين

1. بين أن ⁦x = -1⁩ محور تناظر لـ⁦f(x) = x² + 2x⁩. (⁦f(-2 - x) = f(x)⁩)
2. بين أن ⁦O(0 ; 0)⁩ مركز تناظر لـ⁦f(x) = x³⁩. (⁦f(-x) = -f(x)⁩)

نصائح

• افحص مجموعة التعريف أولا.
• في المقاربة التحليلية احتفظ بالمقام موحدا.
• استعمل تغيير المعلم عند صعوبة الحساب المباشر.

أخطاء شائعة

• نسيان شرط الانتماء ⁦2a - x ∈ Df⁩.
• الخلط بين شرط المحور (مساواة) والمركز (مجموع).
• أخطاء الإشارة عند نشر ⁦f(2a - x)⁩.

الشرح المصوّر

لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يقدم الأستاذ سليم مختارة في فيديو «الدرس 10: تعيين محور ومركز تناظر للسنة الثانية ثانوي (الشعب العلمية)» هذا الدرس في نحو ثمان وعشرين دقيقة.