التحاكي من التحويلات النقطية التي يدرسها تلاميذ السنة الثانية ثانوي، إلى جانب الانسحاب والدوران. وهو يعلم كيف نكبر أو نصغر شكلا مع الحفاظ على صورته العامة، مثلما يفعل جهاز عرض الصور أو آلة التصوير. وقد كان ينظر إليه كدرس صعب، لكنه في الحقيقة يعتمد على فكرة واحدة بسيطة: الأشعة. وإذا فهمتها صارت التمارين مباشرة. تعرض الصفحة الدرس من الصفر مع أمثلة.
أولا: تعريف التحاكي
ليكن
Oنقطة ثابتة وkعددا حقيقيا غير معدوم. التحاكي الذي مركزهOونسبتهkهو التحويل الذي يرفق بكل نقطةMالنقطةM'المحققة لـ:
OM' = k × OM(بالأشعة، أي شعاعيا)
قراءة التعريف
- النقط
OوMوM'على استقامة واحدة دائما. - إذا كانت
kموجبة:M'وMفي الجهة نفسها منO. - إذا كانت
kسالبة:M'وMفي جهتين متقابلتين منO. - المسافة:
OM' = |k| × OM.
| نسبة التحاكي | الأثر |
|---|---|
k > 1 |
تكبير في الجهة نفسها |
0 < k < 1 |
تصغير في الجهة نفسها |
k = 1 |
الشكل نفسه (تحويل الهوية) |
k = -1 |
تناظر مركزي بالنسبة لـO |
k < 0 |
تكبير أو تصغير مع انعكاس |
لاحظ أن التناظر المركزي حالة خاصة من التحاكي نسبتها -1.
ثانيا: النقطة الصامدة
المركز O صورته نفسه (O' = O)، فهو النقطة الصامدة الوحيدة عندما k مختلفة عن 1. أما إذا كانت k = 1 فكل النقط صامدة.
ثالثا: إنشاء صورة نقطة
طريقة الإنشاء
لإنشاء صورة M' للنقطة M بالتحاكي h(O, k):
- نرسم المستقيم
(OM). - نقيس
OM. - نحدد على المستقيم النقطة
M'بحيثOM' = |k| × OM، في جهةMإذاk > 0وفي الجهة المعاكسة إذاk < 0.
مثال (1)
h(O, 3) وOA = 2 cm: النقطة A' على نصف المستقيم [OA) وتبعد 6 cm عن O.
مثال (2)
h(O, -1/2) وOB = 8 cm: النقطة B' في الجهة المعاكسة لـB وتبعد 4 cm عن O.
رابعا: خواص التحاكي
ليكن h تحاكيا نسبته k، وصورتا A وB هما A' وB'. فإن:
- الشعاع:
A'B'(كشعاع) يساويk × AB، فالتحاكي يضرب كل شعاع فيk. - الأطوال:
A'B' = |k| × AB. - التوازي: صورة مستقيم هي مستقيم يوازيه.
- الزوايا: يحافظ على قيس الزوايا.
- الاستقامية والتوازي والتعامد تنتقل كما هي.
- المساحات: تضرب في
k². - الحجوم: تضرب في
|k|³. - صورة دائرة مركزها
Cونصف قطرهاrهي دائرة مركزهاC'ونصف قطرها|k| × r. - صورة مثلث هو مثلث يشبهه: أضلاعه متناسبة.
مثال (3)
مثلث ABC مساحته 12 cm² وتحاكي نسبته 3. مساحة المثلث الناتج: 12 × 9 = 108 cm². ومحيطه ينقص أو يزداد بنسبة 3.
خامسا: التحاكي والإحداثيات
إذا كان O هو المبدأ (0, 0) ونقطة M(x, y) فصورتها بالتحاكي ذي النسبة k هي M'(kx, ky).
وإذا كان المركز نقطة Ω(a, b): M'(x', y') حيث x' - a = k(x - a) وy' - b = k(y - b).
مثال (4)
التحاكي مركزه O ونسبته -2، صورة A(3, -1): A'(-6, 2).
مثال (5)
تحاكي مركزه Ω(1, 2) ونسبته 3. صورة M(2, 3): x' = 1 + 3(2 - 1) = 4 وy' = 2 + 3(3 - 2) = 5، إذن M'(4, 5).
سادسا: تعيين مركز ونسبة تحاكي
إذا علمنا نقطتين وصورتيهما، A وB وصورتاهما A' وB':
- النسبة:
k = A'B' / ABبالقيمة المطلقة، والإشارة تحدد بالاتجاه (موجبة إذا الشعاعان في الاتجاه نفسه). - المركز: نقطة تقاطع المستقيمين
(AA')و(BB').
مثال (6)
A' هي صورة A وB' صورة B حيث AB = 3 وA'B' = 9 والشعاعان في اتجاه واحد. النسبة k = 9 / 3 = 3. المركز يقع على تقاطع (AA') و(BB').
سابعا: تركيب تحاكيين
- تركيب تحاكيين نسبتاهما
k1وk2هو: - تحاكٍ نسبته
k1 × k2إذا كانk1 × k2مختلفا عن 1. - أو انسحاب إذا كان
k1 × k2 = 1. - المراكز الثلاثة (مركزا التحاكيين ومركز التركيب) تقع على استقامة واحدة.
ثامنا: التطبيقات
- البرهان على التوازي: صورة مستقيم بتحاكٍ توازيه.
- الاستقامية: تبرير أن ثلاث نقط على استقامة واحدة بإيجاد تحاك يرسل إحداها إلى أخرى.
- المسائل الهندسية: مثل تعيين مركز دائرتين متماستين، أو نقطة تلاقي مستقيمات.
أخطاء شائعة
- نسيان أن المساحة تضرب في
k²وليسk. - الخلط بين مركز التحاكي ونقطة من الشكل.
- استعمال النسبة بالقيمة المطلقة وإهمال الإشارة عند تحديد الجهة.
- القول إن التحاكي يحافظ على الأطوال، والصحيح أنه يضربها في
|k|. - كتابة المعادلة
OM' = k OMدون وضع سهم الشعاع.
تمارين للتدرب
h(O, 2): أنشئ صورة مثلثABCحيثOA = 2وOB = 3وOC = 4.- أوجد صورة النقطة
(2, 5)بالتحاكي ذي المركزOوالنسبة-3. ((-6, -15)) - مساحة مضلع
20ونسبة تحاكيه0.5، ما مساحة صورته؟ (5) - هل تركيب تحاكيين نسبتاهما
2و1/2تحاك أم انسحاب؟ (انسحاب)
نصائح
- ارسم دائما شكلا توضيحيا مع المركز والنسبة.
- اكتب العلاقة الشعاعية أولا ثم انتقل إلى الإحداثيات.
- راجع اتجاه الشعاع عند إشارة النسبة السالبة.
الشرح المصوّر
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يقدم الأستاذ جوفر في فيديو «درس التحاكي من الألف إلى الياء، ثانية ثانوي» هذا الدرس في نحو اثنتين وعشرين دقيقة.