تعرف تلميذ السنة الثانية ثانوي في الرياضيات على العلاقات المترية في المثلث بعد دروس الجداء السلمي. وتتيح هذه العلاقات حل المثلث (إيجاد كل أضلاعه وزواياه) انطلاقا من ثلاثة عناصر، وهو ما يحتاجه المساحون والمهندسون عمليا. وأهم هذه العلاقات مبرهنة الكاشي، وتسمى أيضا مبرهنة فيثاغورس المعممة لأنها تضم مبرهنة فيثاغورس كحالة خاصة، ثم مبرهنة الجيوب، ثم قوانين المساحة. تعرض الصفحة القوانين مع أمثلة عددية حتى تصير التطبيقات سهلة.
رموز المثلث
نرمز للمثلث ABC بالأطوال المقابلة للرؤوس: a = BC وb = AC وc = AB. وزواياه عند الرؤوس A وB وC.
| الرمز | المعنى |
|---|---|
a |
طول الضلع المقابل للزاوية A |
b |
طول الضلع المقابل للزاوية B |
c |
طول الضلع المقابل للزاوية C |
p |
نصف المحيط (a + b + c) / 2 |
S |
مساحة المثلث |
أولا: مبرهنة الكاشي
النص
في أي مثلث ABC:
a² = b² + c² - 2 b c cos A
وبالتناوب الدوري:
b² = a² + c² - 2 a c cos B
c² = a² + b² - 2 a b cos C
حالة خاصة
إذا كانت الزاوية A قائمة فإن cos A = 0 فتصبح a² = b² + c²، وهي مبرهنة فيثاغورس.
استخراج الزاوية
من الصيغة: cos A = (b² + c² - a²) / (2 b c).
ومنها نحدد نوع الزاوية: إذا كانت قيمة الكسر موجبة فالزاوية حادة، وسالبة فمنفرجة، وتساوي صفرا فقائمة.
البرهان (فكرة)
بالجداء السلمي: BC² = (AC - AB)² بالأشعة، ثم نشر: a² = b² + c² - 2 AB·AC، والجداء السلمي AB·AC = b c cos A.
ثانيا: متى نستعمل الكاشي؟
- معلوم ضلعان والزاوية المحصورة بينهما (لإيجاد الضلع الثالث).
- معلومة الأضلاع الثلاثة (لإيجاد أي زاوية).
ثالثا: مبرهنة الجيوب
النص
في أي مثلث ABC نصف قطر دائرته المحيطة R:
a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2 R
متى نستعملها؟
- معلومة زاويتان وضلع (يمكن حساب الزاوية الثالثة).
- معلوم ضلعان وزاوية غير محصورة.
رابعا: قوانين المساحة
S = (1/2) × b × c × sin A = (1/2) × a × c × sin B = (1/2) × a × b × sin C
وقانون هيرون بدلالة الأضلاع الثلاثة:
S = √(p (p - a)(p - b)(p - c))
وقانون مساحة بدلالة نصف قطر الدائرة المحيطة: S = (a × b × c) / (4 R).
خامسا: أمثلة محلولة
مثال (1): إيجاد ضلع
مثلث فيه b = 5 وc = 8 والزاوية A = 60 درجة. احسب a.
a² = 25 + 64 - 2 × 5 × 8 × cos 60 = 89 - 80 × 0.5 = 89 - 40 = 49، إذن a = 7.
مثال (2): إيجاد زاوية
أضلاع مثلث: a = 7 وb = 8 وc = 9. احسب الزاوية C.
cos C = (a² + b² - c²) / (2 a b) = (49 + 64 - 81) / (2 × 7 × 8) = 32 / 112 = 2/7 ≈ 0.2857.
إذن C ≈ 73.4 درجة.
مثال (3): مبرهنة الجيوب
مثلث فيه A = 40 درجة وB = 60 درجة وa = 10. احسب b.
b = a × sin B / sin A = 10 × sin 60 / sin 40 = 10 × 0.866 / 0.643 ≈ 13.47.
والزاوية الثالثة C = 180 - 40 - 60 = 80 درجة.
مثال (4): المساحة
مثلث فيه b = 6 وc = 10 والزاوية A = 30 درجة. المساحة: S = 0.5 × 6 × 10 × sin 30 = 0.5 × 60 × 0.5 = 15.
مثال (5): قانون هيرون
مثلث أضلاعه 13 و14 و15: p = 21، S = √(21 × 8 × 7 × 6) = √7056 = 84.
مثال (6): مسألة تطبيقية
يريد مساح قياس المسافة بين نقطتين A وB تفصل بينهما بحيرة. يختار نقطة C ويقيس CA = 120 m وCB = 150 m والزاوية ACB = 50 درجة.
AB² = 120² + 150² - 2 × 120 × 150 × cos 50 = 14400 + 22500 - 36000 × 0.643 = 36900 - 23148 = 13752، ومنه AB ≈ 117.3 m.
سادسا: طريقة اختيار القانون
| المعطيات | القانون |
|---|---|
| ضلعان والزاوية بينهما | الكاشي ثم الجيوب |
| ثلاثة أضلاع | الكاشي |
| زاويتان وضلع | الجيوب |
| ضلعان وزاوية غير محصورة | الجيوب (انتبه لحالتين) |
أخطاء شائعة
- نسيان الإشارة السالبة في الكاشي (
- 2 b c cos A). - ضبط الآلة الحاسبة على الراديان بدل الدرجات.
- الخلط بين الضلع والزاوية المقابلة في الجيوب.
- نسيان الجذر التربيعي في آخر الحل.
- القسمة على
sinبدلcosعند استخراج الزاوية.
تمارين للتدرب
- مثلث فيه
a = 5وb = 7وC = 120درجة، احسبc. (c = 10.44تقريبا) - أضلاع مثلث
3و4و5، احسب أكبر زاوية. (90 درجة) - مساحة مثلث ضلعاه
8و9والزاوية بينهما 45 درجة. (25.46تقريبا)
نصائح
- ارسم المثلث ووسم الأضلاع بالأحرف الصغيرة والزوايا بالكبيرة.
- تحقق من أن مجموع الزوايا الثلاث 180 درجة.
- تحقق أن أكبر ضلع يقابل أكبر زاوية.
الشرح المصوّر
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يقدم الأستاذ نورالدين في فيديو «العلاقات المترية (مبرهنة الكاشي) للثانية ثانوي» هذا الدرس.