درس الجداء السلمي مهم في السنة الثانية ثانوي وفي السنة النهائية كذلك. والجداء السلمي لشعاعين ليس شعاعا بل عدد حقيقي، ولذلك يسمى «سلميا» (ويختلف عن الجداء الشعاعي الذي لا يدرس هنا). تعرض الصفحة تعريفه وخواصه وتطبيقاته، وتنتهي بتمارين.
التعريف
الجداء السلمي للشعاعين u وv يرمز له u · v ويقرأ «u نقطة v».
العلاقة الأولى: بالطويلة وجيب التمام
u · v = ‖u‖ × ‖v‖ × cos θ
حيث θ الزاوية بين الشعاعين، و‖u‖ طويلة الشعاع u.
العلاقة الثانية: بالإحداثيات
في معلم متعامد ومتجانس، إذا كان u (x ; y) وv (x' ; y'):
u · v = x x' + y y'
أمثلة
u (2 ; 3)وv (4 ; -1):u · v = 2×4 + 3×(-1) = 8 - 3 = 5.‖u‖ = 3و‖v‖ = 4والزاوية60°:u · v = 3 × 4 × cos 60° = 12 × 0.5 = 6.
حالات خاصة
| الحالة | قيمة الجداء |
|---|---|
الزاوية 0° (نفس الاتجاه) |
‖u‖ ‖v‖ |
الزاوية 180° (اتجاهان متعاكسان) |
- ‖u‖ ‖v‖ |
الزاوية 90° |
صفر |
u · u |
‖u‖² |
التعامد
يتعامد شعاعان غير معدومين إذا وفقط إذا كان جداؤهما السلمي معدوما.
مثال: u (3 ; 2) وv (-2 ; 3): u · v = -6 + 6 = 0 فالشعاعان متعامدان.
الخواص الجبرية
| الخاصية | الصيغة |
|---|---|
| تبديلي | u · v = v · u |
| توزيعي | u · (v + w) = u · v + u · w |
| ضرب في عدد | (k u) · v = k (u · v) |
| مربع شعاع | u · u = ‖u‖² |
الطويلة بالإحداثيات
‖u‖ = sqrt(x² + y²)
حساب الزاوية بين شعاعين
من العلاقة الأولى: cos θ = (u · v) / (‖u‖ × ‖v‖)
مثال: u (1 ; 0) وv (1 ; 1).
u · v = 1، و‖u‖ = 1، و‖v‖ = sqrt(2).cos θ = 1 / sqrt(2) = sqrt(2)/2، إذنθ = 45°.
تطبيق: هل المثلث قائم؟
A (1 ; 1) وB (4 ; 2) وC (2 ; 5).
AB (3 ; 1)وAC (1 ; 4):AB · AC = 3 + 4 = 7غير معدوم، فالمثلث ليس قائما فيA.
ملخص
الجداء السلمي = عدد، يحسب بالزاوية أو بالإحداثيات، ويستعمل للتعامد وحساب الزوايا والأطوال.
تمارين
- احسب
u · vعلما أنu (1 ; 2)وv (3 ; -1). (1) - هل
(2 ; 1)و(-1 ; 2)متعامدان؟ (نعم) - احسب الزاوية بين
(1 ; 0)و(0 ; 1). (90°)
نصائح
- اختر العلاقة المناسبة للمعطيات.
- لا تنس أن النتيجة عدد لا شعاع.
- في التعامد تحقق من أن الجداء معدوم.
أخطاء شائعة
- القول إن الجداء السلمي شعاع.
- نسيان إشارة cos عند الزاوية المنفرجة.
- الخلط بين الجداء السلمي وجداء الطويلتين.
الشرح المصوّر
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يقدم الأستاذ نورالدين في فيديو «درس الجداء السلمي للثانية ثانوي (نسخة جديدة)» هذا الدرس في نحو خمس وثلاثين دقيقة.