الدالة مربع أبسط دالة مرجعية تتعرف عليها بعد الدالة التآلفية، لكنها أهم من ذلك بكثير: فمعظم ما تتعلمه لاحقًا عن الدوال من اتجاه تغير وتمثيل بياني ومعادلات يبدأ منها. وهي تُبنى على نظام دقيق: تعريف، فاتجاه تغير، فجدول تغيرات، فشفعية، فتمثيل بياني. تعرض هذه الصفحة هذه العناصر بترتيبها، ثم تطبيقاتها في حل المعادلات والمتراجحات وتأطير قيم المربع، وتنتهي بأخطاء متكررة وتمارين محلولة.
التعريف
الدالة مربع هي الدالة f المعرّفة على ℝ كلها بـ f(x) = x². فصورة كل عدد حقيقي مربعه. ومجموعة تعريفها ℝ، لأن لكل عدد مربعًا.
جدول قيم مفيد: f(−3) = 9 و f(−2) = 4 و f(−1) = 1 و f(0) = 0 و f(1) = 1 و f(2) = 4 و f(3) = 9.
اتجاه التغير
للدالة مربع اتجاهان مختلفان، فلا يمكن وصفها بأنها متزايدة ولا بأنها متناقصة على ℝ كلها، ولذلك نقسم ℝ عند العدد الذي تنعدم به الدالة وهو 0:
- متناقصة تمامًا على
]−∞ ; 0]. - متزايدة تمامًا على
[0 ; +∞[.
للبرهان نأخذ عددين x₁ < x₂ ونحسب f(x₂) − f(x₁) = x₂² − x₁² = (x₂ − x₁)(x₂ + x₁). العامل الأول موجب دائمًا. فإذا كان 0 ≤ x₁ < x₂ فالعامل الثاني موجب، والفرق موجب، فالدالة متزايدة. وإذا كان x₁ < x₂ ≤ 0 فالعامل الثاني سالب، والفرق سالب، فالدالة متناقصة.
جدول التغيرات: ينزل f من +∞ عند −∞ إلى القيمة 0 عند x = 0، ثم يصعد منها إلى +∞ عند +∞. والقيمة 0 هي القيمة الحدية الصغرى للدالة (قيمة دنيا)، فلا يوجد مربع سالب: x² ≥ 0 من أجل كل x.
الشفعية
الدالة مربع شفعية، لأن مجموعة تعريفها متناظرة بالنسبة إلى 0 ولأن f(−x) = (−x)² = x² = f(x) من أجل كل x. وهذا يعني أن العددين x و −x لهما الصورة نفسها.
التمثيل البياني
المنحنى الممثل للدالة مربع في معلم متعامد قطع مكافئ رأسه المبدأ O. وبسبب الشفعية فهو متناظر بالنسبة إلى محور التراتيب. نرسمه بنقاط الجدول أعلاه ثم نصل بينها بمنحنى أملس. ويقع كله فوق محور الفواصل، ويمس هذا المحور عند المبدأ.
تطبيقات
1. حل المعادلة x² = a:
- إذا كان
a > 0فللمعادلة حلانx = √aوx = −√a. - إذا كان
a = 0فللمعادلة حل واحدx = 0. - إذا كان
a < 0فلا حل لها.
2. حل المتراجحات من أجل a > 0:
x² ≤ aتكافئ−√a ≤ x ≤ √a.x² ≥ aتكافئx ≤ −√aأوx ≥ √a.
3. مقارنة المربعات: من أجل عددين موجبين 0 ≤ a < b فإن a² < b² (الدالة متزايدة على [0 ; +∞[). ومن أجل عددين سالبين a < b ≤ 0 فإن a² > b² (الدالة متناقصة على ]−∞ ; 0]).
4. السوابق والصور: سوابق العدد 4 بالدالة مربع هما 2 و −2. وسوابق العدد −1 غير موجودة لأن مربعًا لا يساوي عددًا سالبًا.
5. تأطير x² انطلاقًا من تأطير x:
- إذا كان
1 ≤ x ≤ 3فإن1 ≤ x² ≤ 9، لأن الدالة متزايدة على[0 ; +∞[. - إذا كان
−2 ≤ x ≤ 1فإن0 ≤ x² ≤ 4. الحد الأدنى 0 لأن المجال يحوي 0، والحد الأعلى(−2)² = 4لأن−2أبعد عن 0 من 1.
6. تقاطع منحنيين: لإيجاد نقاط تقاطع القطع المكافئ y = x² والمستقيم y = x + 2 نحل x² = x + 2 أي x² − x − 2 = 0 وتحلل إلى (x − 2)(x + 1) = 0. الحلان x = 2 و x = −1 والنقطتان (2 ; 4) و (−1 ; 1).
أخطاء شائعة
- القول إن الدالة مربع متزايدة على
ℝ. هي متناقصة ثم متزايدة، وتغير الاتجاه عند 0. - أن
a < bتعطيa² < b²دائمًا. هذا صحيح للعددين الموجبين فقط، وخطأ للسالبين:−3 < −2لكن9 > 4. - حذف أحد حلي المعادلة
x² = a. للمعادلة حلان±√aحينa > 0. - القول إن
√(x²) = x. الصحيح√(x²) = |x|. - رسم المنحنى مضلعًا بدل منحنى أملس، أو عدم احترام تناظره.
- تأطير
x²بتربيع حدّي المجال دون النظر هل المجال يحوي 0.
تمارين للتدرب
- حل في
ℝ:x² = 9وx² = 0وx² = −4. - حل في
ℝالمتراجحةx² ≤ 16. - قارن
(−5)²و(−3)²دون حساب. - أطّر
x²علمًا أن−3 ≤ x ≤ 2. - جد نقاط تقاطع
y = x²وy = 2x + 3.
الحلول:
- الأولى:
x = 3أوx = −3. الثانية:x = 0. الثالثة: لا حل. −4 ≤ x ≤ 4.−5 < −3 ≤ 0والدالة متناقصة على]−∞ ; 0]، فـ(−5)² > (−3)²، أي25 > 9.- المجال يحوي 0 فالحد الأدنى 0، والأبعد عن 0 هو
−3فالحد الأعلى(−3)² = 9. إذن0 ≤ x² ≤ 9. x² = 2x + 3أيx² − 2x − 3 = 0، وتحلل إلى(x − 3)(x + 1) = 0، فـx = 3أوx = −1. النقطتان(3 ; 9)و(−1 ; 1).
الشرح المصوّر
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يشرح الأستاذ كساسي في فيديو «الدوال المرجعية: شرح شامل للدالة مربع» الدرس في نحو سبع وعشرين دقيقة، متتبعًا العناصر نفسها: التعريف واتجاه التغير وجدول التغيرات والشفعية والتمثيل البياني.