القيمة المطلقة من الدروس التي يخافها تلاميذ السنة الأولى ثانوي، وهي مع ذلك درس مضمون النقاط إذا فهمت فكرة واحدة: القيمة المطلقة هي مسافة. وإذا تعاملت معها بوصفها مسافة على مستقيم الأعداد تحولت المعادلات والمتراجحات التي تحويها إلى مسائل بسيطة عن النقاط والمجالات. وتتكرر في الفروض والاختبارات ثلاثة أنواع من الأسئلة: حل معادلات فيها قيمة مطلقة، وحل متراجحات فيها قيمة مطلقة، وملء جدول يربط بين المجال والحصر والمسافة والقيمة المطلقة. تعرض هذه الصفحة التعريف والخواص، ثم الربط بين المسافة والحصر، ثم الأمثلة النموذجية، وتنتهي بأخطاء متكررة وتمارين محلولة.
تعريف القيمة المطلقة
القيمة المطلقة للعدد x، ونرمز لها |x|، هي:
|x| = xإذا كانx ≥ 0.|x| = −xإذا كانx < 0.
وهي دائمًا موجبة أو معدومة. أمثلة: |5| = 5، و|−3| = 3، و|0| = 0.
خواص مفيدة:
|a × b| = |a| × |b|، فـ|−2x| = 2|x|.|a| = |b|يعنيa = bأوa = −b.|−x| = |x|.
القيمة المطلقة والمسافة
على مستقيم مدرج، المسافة بين النقطتين A وB اللتين فاصلتاهما a وb هي:
AB = |a − b|
ومنه |x − a| هي المسافة بين النقطة M ذات الفاصلة x والنقطة A ذات الفاصلة a. وهذه هي الفكرة التي تحل بها كل التمارين.
المسافة والحصر والمجال
ليكن a عددًا وr عددًا موجبًا:
|x − a| ≤ r: النقطةMتبعد عنAبمسافة لا تزيد علىr، أيa − r ≤ x ≤ a + r، والمجال[a − r ; a + r].|x − a| < r: مسافة أقل تمامًا منr، أيa − r < x < a + r، والمجال]a − r ; a + r[.|x − a| = r: مسافة تساويr، أيx = a − rأوx = a + r، وهما قيمتان.
والعدد a هو مركز المجال، وr نصف قطره. وبالعكس، إذا كان المجال [c ; d] فمركزه (c + d) ÷ 2 ونصف قطره (d − c) ÷ 2.
حل المعادلات
مثال 1: حل المعادلة |2x − 8| − 6 = 0.
- نعزل القيمة المطلقة:
|2x − 8| = 6. - نخرج
2عاملًا مشتركًا:|2x − 8| = |2| × |x − 4| = 2|x − 4|. - إذن
2|x − 4| = 6أي|x − 4| = 3. - بتفسيرها مسافةً: النقطة
Mذات الفاصلةxتبعد عن النقطة ذات الفاصلة4بالمسافة3. - على مستقيم الأعداد، نسير
3وحدات يمينًا من4فنصل إلى7، و3وحدات يسارًا فنصل إلى1.
مجموعة الحلول: S = {1 ; 7}.
وطريقة التحقق: x = 1 يعطي |2 − 8| − 6 = 6 − 6 = 0 وx = 7 يعطي |14 − 8| − 6 = 0.
حل المتراجحات
مثال 2: حل المتراجحة |−2x + 10| ≤ 6.
- نخرج
−2عاملًا مشتركًا:−2x + 10 = −2(x − 5). - إذن
|−2x + 10| = |−2| × |x − 5| = 2|x − 5|. - تصبح المتراجحة
2|x − 5| ≤ 6أي|x − 5| ≤ 3. - القاعدة:
|x − 5| ≤ 3تعني−3 ≤ x − 5 ≤ 3. - نضيف
5للأطراف الثلاثة:2 ≤ x ≤ 8.
مجموعة الحلول: S = [2 ; 8]. نغلق المجال عند الطرفين لأن المتراجحة فيها «أو يساوي». ولو كانت أصغر تمامًا لفتحنا المجال.
ملاحظة مهمة: القسمة على |−2| لا تغير اتجاه المتراجحة، لأن |−2| = 2 عدد موجب.
وإذا كانت المتراجحة من نوع أكبر؟
|x − a| ≥ r تعني أن المسافة تساوي r على الأقل، أي أن M خارج المجال: x ≤ a − r أو x ≥ a + r. فحلها اتحاد مجالين: ]−∞ ; a − r] ∪ [a + r ; +∞[.
أخطاء شائعة
- كتابة
|x − 4| = 3والاكتفاء بحل واحد، وهي تحوي حلين. - نسيان إخراج العامل المشترك قبل التفسير بالمسافة.
- عكس إشارة الحدين عند الحصر:
|x − 5| ≤ 3تعطي2 ≤ x ≤ 8وليس−3 ≤ x ≤ 3. - كتابة
|x| = −2وإعطاء حل، والقيمة المطلقة لا تساوي عددًا سالبًا فلا حل لها. - الخلط بين المجال المفتوح والمغلق عند «أصغر تمامًا» و«أصغر أو يساوي».
- جعل
|a + b| = |a| + |b|، وهذه علاقة غير صحيحة عمومًا.
تمارين للتدرب
- حل المعادلة
|x − 2| = 5. - حل المتراجحة
|x + 1| < 4. - اكتب
2 ≤ x ≤ 10باستعمال القيمة المطلقة. - حل المعادلة
|3x − 6| = 9.
الحلول:
x = −3أوx = 7.−4 < x + 1 < 4أي−5 < x < 3، فـS = ]−5 ; 3[.- المركز
6ونصف القطر4، فنكتب|x − 6| ≤ 4. 3|x − 2| = 9أي|x − 2| = 3، فـx = −1أوx = 5.
الشرح المصوّر
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يعالج الأستاذ زكرياء بن سعدون في فيديو «القيمة المطلقة والحصر والمسافة والمجالات بتمرين شامل، السنة أولى ثانوي» الدرس في نحو أربع وعشرين دقيقة بتمرين من ثلاثة أسئلة: حل معادلتين فيهما قيمة مطلقة، وحل متراجحتين فيهما قيمة مطلقة، وملء جدول يربط بين الحصر والمجال والمسافة والقيمة المطلقة.
وللتوسع، اطلع على هذين الملفين في الموقع: