الدوال من أهم دروس السنة الأولى ثانوي، فهي ترافقك حتى شهادة البكالوريا، وقد يخصص لها تمرين كامل بثماني نقاط في الامتحان. وهي ليست جديدة تمامًا عليك: تعرفت في السنة الرابعة متوسط على الدالة الخطية f(x) = a x والدالة التآلفية f(x) = a x + b. وفي هذا الدرس تتوسع في المفهوم العام للدالة وكل ما يتعلق بها من تعريف وتمثيل وتغير. تعرض هذه الصفحة تعريف الدالة، ثم مجموعة التعريف، ثم الصورة والسابقة، ثم التمثيل البياني، ثم الزوجية، ثم اتجاه التغير، ثم القيم الحدية، ثم حل المعادلات بيانيًا، وتنتهي بأخطاء متكررة وتمارين محلولة.
تعريف الدالة
الدالة f علاقة تربط كل عدد حقيقي x من مجموعة D بعدد حقيقي وحيد f(x). وتكتب:
f : x ↦ f(x)
حيث:
xهو المتغير.f(x)هو صورةxبالدالةf.Dهي مجموعة تعريف الدالة.
مثال: f(x) = 2x − 3 تربط كل عدد x بالعدد 2x − 3.
مجموعة التعريف
هي مجموعة كل القيم التي يمكن أن يأخذها x ويكون عندها f(x) معرفًا. وبحسب الشكل:
- كثير حدود (مثل
x² − 3x + 1):D = ℝ. - كسر
1 / (x − 2): المقام غير معدوم، فـx ≠ 2، وD = ℝ \ {2}. - جذر تربيعي
√(x − 1): ما تحت الجذرx − 1 ≥ 0، أيx ≥ 1، وD = [1 ; +∞[.
الصورة والسابقة
- صورة عدد
aهيf(a): نعوضxبـa. مثال: لـf(x) = 2x − 3، صورة4هيf(4) = 5. - سابقة عدد
bهي كل عددxيحققf(x) = b: نحل المعادلة. مثال: سوابق7هي حلول2x − 3 = 7أيx = 5.
وقد يكون للعدد الواحد عدة سوابق أو سابقة واحدة أو لا سابقة.
التمثيل البياني
المنحنى (C_f) هو مجموعة النقاط M(x ; f(x)) في معلم، حيث x هو الفاصلة وf(x) الترتيبة.
إنشاء المنحنى
- نكون جدول قيم: نختار عدة قيم لـ
xونحسب صورها. - نعين النقاط في المعلم.
- نصل بينها بمنحنى.
قراءة المنحنى
- صورة
a: نرسم مستقيمًا شاقوليًا عندx = aفنقرأ الترتيبة عند التقاطع. - سوابق
b: نرسم مستقيمًا أفقيًا عندy = bونقرأ فواصل نقاط التقاطع مع المنحنى. - مجموعة التعريف: مجال الفواصل الذي يوجد فيه المنحنى.
الزوجية
- دالة زوجية:
Dمتناظرة بالنسبة إلى0، وf(−x) = f(x). منحناها متناظر بالنسبة إلى محور التراتيب. مثال:x ↦ x². - دالة فردية:
f(−x) = −f(x). منحناها متناظر بالنسبة إلى المبدأ. مثال:x ↦ x³وx ↦ 1 / x.
اتجاه التغير
على مجال I:
fمتزايدة إذا كان من أجلa < bفيI:f(a) ≤ f(b)(المنحنى يصعد).fمتناقصة إذا كانa < bيعطيf(a) ≥ f(b)(المنحنى ينزل).fثابتة إذا كانتf(a) = f(b).
ونلخص ذلك في جدول تغيرات بأسهم صاعدة ونازلة.
مثال: f(x) = x²: متناقصة على ]−∞ ; 0] ومتزايدة على [0 ; +∞[.
القيم الحدية
fتقبل قيمة عظمىMعندaإذا كانf(x) ≤ Mمن أجل كلx.fتقبل قيمة صغرىmعندaإذا كانf(x) ≥ mمن أجل كلx.
مثال: f(x) = x² لها قيمة صغرى 0 عند x = 0.
حل معادلات ومتراجحات بيانيًا
- حل
f(x) = k: فواصل نقاط تقاطع(C_f)مع المستقيمy = k. - حل
f(x) < g(x): المجالات التي يكون فيها(C_f)تحت(C_g).
مثال شامل
الدالة f(x) = x² − 4x + 3:
D = ℝ.- جدول القيم:
f(0) = 3،f(1) = 0،f(2) = −1،f(3) = 0،f(4) = 3. - صورة
5هيf(5) = 25 − 20 + 3 = 8. - سوابق
0:x² − 4x + 3 = 0فـx = 1أوx = 3. - التغير: متناقصة على
]−∞ ; 2]ومتزايدة على[2 ; +∞[، وقيمة صغرى−1عندx = 2.
أخطاء شائعة
- نسيان تحديد مجموعة التعريف قبل أي دراسة.
- الخلط بين الصورة والسابقة.
- الخلط بين الفاصلة والترتيبة.
- القول إن الدالة
x ↦ x²متزايدة علىℝكلها. - ترك الجذر أو الكسر دون شرط في مجموعة التعريف.
- الخلط بين القيمة الحدية والعدد الذي تبلغ عنده.
تمارين للتدرب
- عيّن مجموعة تعريف
1 / (x + 3)و√(5 − x). - احسب صورة
−2بالدالةf(x) = 3x + 1، وسوابق10. - هل
x ↦ x³ + xفردية؟ - أعطيت
fبجدول: متزايدة على[−2 ; 1]ومتناقصة على[1 ; 4]. ما القيمة العظمى؟ وعند أي فاصلة؟
الحلول:
- الأولى
ℝ \ {−3}، والثانية]−∞ ; 5]. f(−2) = −5، وسابقة10حل3x + 1 = 10أيx = 3.f(−x) = −x³ − x = −f(x)، فهي فردية.- القيمة العظمى
f(1)عندx = 1.
الشرح المصوّر
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يشرح الأستاذ سليم مختارة في فيديو «الدرس 17: عموميات على الدوال، السنة أولى ثانوي» هذا الدرس في نحو ست وعشرين دقيقة، وهو من أهم دروس السنة الأولى ثانوي، موضحًا أن الدوال ليست جديدة تمامًا إذ سبق أن رأى التلاميذ الدالة الخطية والدالة التآلفية في السنة الرابعة متوسط.