بين الدوال المرجعية في السنة الأولى ثانوي تحتل دالة مقلوب مكانة خاصة، لأنها الأولى التي لا يكون مجال تعريفها كل الأعداد الحقيقية، ولأن تمارين الفروض تطلب منك عادة أن تحول دالة على شكل كسر إلى شكل يظهر فيه مقلوب. وهي في الأصل بسيطة: كل عدد يرفقه بمقلوبه. تعرض هذه الصفحة الدالة المرجعية 1/x وخواصها، ثم تمرينًا شاملًا يحوي الأسئلة الأربعة الكلاسيكية: مجموعة التعريف، والبرهان على كتابة جديدة، وجدول التغيرات، ودراسة الإشارة، وتنتهي بأخطاء متكررة.
الدالة المرجعية: دالة مقلوب
الدالة f المعرفة بـ f(x) = 1/x تسمى دالة مقلوب.
- مجموعة التعريف: كل الأعداد الحقيقية ما عدا
0، لأن القسمة على الصفر مستحيلة. نكتبهاℝ*أو]−∞ ; 0[ ∪ ]0 ; +∞[. - الدالة فردية:
f(−x) = −f(x)، ولذلك فمنحناها متناظر بالنسبة إلى مبدأ المعلم. - اتجاه التغير: متناقصة تمامًا على المجال
]−∞ ; 0[ومتناقصة تمامًا على المجال]0 ; +∞[. ولا يجوز أن نقول إنها متناقصة على مجموعة التعريف كلها، لأنf(−1) = −1أصغر منf(1) = 1. - الإشارة:
f(x) > 0إذا كانx > 0، وf(x) < 0إذا كانx < 0.
جدول التغيرات: نكتب في الأسطر العلوية المجالين، وفي كل منهما سهمًا نازلًا.
وتمثيلها البياني قطع زائد له فرعان: فرع في الربع الأول وفرع في الربع الثالث، يقتربان من المحورين دون أن يلمساهما.
تمرين شامل
نعتبر الدالة g المعرفة بـ g(x) = (2x + 1) ÷ (x + 1).
السؤال 1: عيّن مجموعة التعريف
الدالة معرفة إذا كان المقام غير معدوم: x + 1 ≠ 0، أي x ≠ −1. فالعدد −1 قيمة ممنوعة.
D_g = ℝ \ {−1} = ]−∞ ; −1[ ∪ ]−1 ; +∞[.
ونفتح المجال عند −1 لأن القيمة الممنوعة لا تؤخذ، ونستعمل الاتحاد ∪ لأن المجموعة مجالان.
السؤال 2: بيّن أن g(x) = 2 − 1/(x + 1)
ننطلق من الطرف الأيمن ونوحد المقامات:
2 − 1/(x + 1) = 2(x + 1)/(x + 1) − 1/(x + 1) = (2x + 2 − 1)/(x + 1) = (2x + 1)/(x + 1) = g(x)
وهو المطلوب. ولاحظ أننا ننطلق من الكتابة التي لا نشك في صحتها للوصول إلى الكتابة المطلوب إثباتها.
السؤال 3: ادرس اتجاه تغير g
بالكتابة g(x) = 2 − 1/(x + 1)، يظهر مقلوب x + 1:
- على المجال
]−∞ ; −1[: الدالةx ↦ 1/(x + 1)متناقصة، فـ−1/(x + 1)متزايدة، وإضافة2لا تغير الاتجاه. إذنgمتزايدة تمامًا على]−∞ ; −1[. - على المجال
]−1 ; +∞[: بالمثلgمتزايدة تمامًا.
جدول التغيرات: سهم صاعد على المجال الأول وسهم صاعد على المجال الثاني، ويفصل بينهما العدد −1 (قيمة ممنوعة).
ويعني هذا أن بيان g يستنتج من بيان دالة مقلوب بإجراء انسحاب شعاعه (−1 ; 2)، بعد أخذ نظير بالنسبة إلى محور الفواصل.
السؤال 4: ادرس إشارة g(x)
نبحث عن قيمة تعدم البسط: 2x + 1 = 0 أي x = −1/2. وقيمة تعدم المقام: x = −1. ثم نرتب جدول الإشارة:
| المجال | ]−∞ ; −1[ |
]−1 ; −1/2[ |
]−1/2 ; +∞[ |
|---|---|---|---|
إشارة 2x + 1 |
سالبة | سالبة | موجبة |
إشارة x + 1 |
سالبة | موجبة | موجبة |
إشارة g(x) |
موجبة | سالبة | موجبة |
الخلاصة: g(x) ≥ 0 عندما x ∈ ]−∞ ; −1[ أو x ∈ [−1/2 ; +∞[، وتنعدم عند x = −1/2.
قيم مفيدة للتحقق
g(0) = 1، وg(1) = 3/2، وg(−1/2) = 0. وتفيدك هذه القيم في التحقق من رسمك ومن جدول الإشارة.
أخطاء شائعة
- إدخال القيمة الممنوعة في مجموعة التعريف أو إغلاق المجال عندها.
- القول إن
1/xمتناقصة علىℝ*كلها، وهي متناقصة على كل مجال من المجالين على حدة. - نسيان الاتحاد
∪عند كتابة مجموعة التعريف. - الانطلاق من الكتابة المطلوب إثباتها بدل العكس عند البرهان.
- الخطأ في إشارة
−1/(x + 1)عند دراسة التغيرات. - الخلط بين
ℝ*(بدون الصفر) وℝ \ {−1}(بدون−1).
تمارين للتدرب
- عيّن مجموعة تعريف
h(x) = 1/(x − 3). - ما اتجاه تغير
k(x) = 1/x + 4على]0 ; +∞[؟ - بيّن أن
(3x + 2)/(x + 1) = 3 − 1/(x + 1). - احسب
g(2)للدالةgأعلاه.
الحلول:
x ≠ 3، أي]−∞ ; 3[ ∪ ]3 ; +∞[.- متناقصة تمامًا، لأن إضافة عدد ثابت لا تغير الاتجاه.
3 − 1/(x + 1) = (3x + 3 − 1)/(x + 1) = (3x + 2)/(x + 1).g(2) = (4 + 1) ÷ 3 = 5/3.
الشرح المصوّر
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يشرح الأستاذ زكرياء بن سعدون في فيديو «الدالة مقلوب من الدوال المرجعية بتمرين شامل، أولى ثانوي» الدرس في نحو تسع وعشرين دقيقة بأسلوب بسيط، فيعالج دالة على شكل كسر ويطلب فيها مجموعة التعريف وإيجاد القيمة الممنوعة ثم البرهان على الكتابة الجديدة، ويعد في فيديوهات لاحقة بدالتي المربع والجذر.