درس الدوال في السنة الأولى ثانوي يسمى محور عموميات حول الدوال، وهو نفسه تقريبا مقطع الدوال في الرابعة متوسط لكنه أوسع. والدوال بسيطة لأنها تتبع قواعد ثابتة، لكن ما يقع فيه التلميذ من أخطاء هو عدم معرفة أي قاعدة يطبق حين يعطيه الأستاذ تمرينا. تعرض الصفحة القواعد الأساسية بترتيب، وتنتهي بتمارين.
1. تعريف الدالة
الدالة
fعلاقة تربط كل عددxمن مجموعةDبعدد واحد فقطf(x).
Dتسمى مجموعة تعريف الدالة.f(x)هو صورةx.xهو سابقةf(x).
2. مجموعة التعريف
| نوع الدالة | مجموعة التعريف |
|---|---|
| كثير حدود | R |
ناطقة 1/(x - a) |
R ما عدا a (المقام لا ينعدم) |
جذر تربيعي sqrt(u) |
حيث u ≥ 0 |
مثال: f(x) = 3/(x - 2): المقام ينعدم عند x = 2، إذن Df = R ما عدا 2.
3. الصورة والسابقة
مثال: f(x) = 2x + 1.
- صورة 3:
f(3) = 7. - سابقة 9: نحل
2x + 1 = 9فنجدx = 4. - سابقة العدد قد تكون صفرا أو واحدة أو عدة سوابق بحسب الدالة.
4. التمثيل البياني
المنحنى
(C_f)هو مجموعة النقطM(x ; f(x)).
قراءة البيان:
- الصورة: نقرأ فاصلة النقطة على محور الفواصل ثم نصعد إلى المنحنى ونقرأ الترتيب.
- السابقة: نقرأ ترتيبا على محور التراتيب ثم نمضي أفقيا إلى المنحنى وننزل إلى الفاصلة.
5. اتجاه التغير
| الاتجاه | الوصف |
|---|---|
| متزايدة على مجال | إذا ازدادت x ازدادت f(x) |
| متناقصة على مجال | إذا ازدادت x نقصت f(x) |
| ثابتة | f(x) لا يتغير |
جدول التغيرات
مثال: دالة متناقصة على [-2 ; 1] ثم متزايدة على [1 ; 4]:
x |
-2 | 1 | 4 |
|---|---|---|---|
f(x) |
5 ↘ | -3 | ↗ 6 |
6. القيمتان العظمى والصغرى
- قيمة صغرى للدالة على مجال: أصغر قيمة تأخذها، وتبلغها عند
x = 1في المثال (القيمة-3). - قيمة عظمى: أكبر قيمة تأخذها.
7. الدالة الزوجية والفردية
| النوع | الشرط | الخاصية البيانية |
|---|---|---|
| زوجية | f(-x) = f(x) |
المنحنى متناظر بالنسبة لمحور التراتيب |
| فردية | f(-x) = -f(x) |
المنحنى متناظر بالنسبة لمبدأ المعلم |
أمثلة: x² زوجية، وx³ فردية.
8. حل معادلات ومتراجحات بيانيا
- حل
f(x) = k: فواصل نقاط تقاطع المنحنى مع المستقيمy = k. - حل
f(x) ≥ g(x): القيم التي يكون عندها منحنىfفوق منحنىg.
مثال محلول
f(x) = x² - 4x + 3.
Df = R.f(0) = 3، وf(2) = -1.- حل
f(x) = 0:x² - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)، فالسابقتان1و3.
تمارين
- عين مجموعة تعريف
f(x) = sqrt(x - 5). ([5 ; +∞[) - احسب صورة
-2بالدالةg(x) = x² + 1. (5) - هل
h(x) = x⁴ - x²زوجية؟ (نعم)
نصائح
- ابدأ دائما بتعيين مجموعة التعريف.
- اقرأ البيان بحذر على المحورين.
- ارسم جدول التغيرات بدقة.
أخطاء شائعة
- نسيان القيمة الممنوعة في مجموعة التعريف.
- الخلط بين الصورة والسابقة.
- قراءة اتجاه التغير على محور التراتيب.
الشرح المصوّر
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يقدم المعلم زكرياء في فيديو «الدوال: عموميات على الدوال بالتفصيل، جميع الحالات والأفكار، رياضيات أولى ثانوي» هذا الدرس في نحو تسع وثلاثين دقيقة.