تعرفت على العبارات الجبرية في السنة الثانية والثالثة متوسط، وتعود إليها في السنة الأولى ثانوي بمستوى أعلى، فهي أساس كل ما سيأتي في الدوال والمعادلات. وكثير من التلاميذ يقولون إنهم يجدون صعوبة فيها، والحل أن تعرف أدوات محددة وتستعملها بترتيب. تعرض هذه الصفحة تعريف العبارة الجبرية، ثم معادلة الجداء، ثم معادلة القسمة، ثم المتراجحات ودراسة الإشارة، ثم الشكل النموذجي، ثم حل معادلة من الدرجة الثانية، وتنتهي بأخطاء متكررة وتمارين محلولة.
ما العبارة الجبرية؟
العبارة الجبرية تعبير يحوي أعدادًا وحروفًا (متغيرات) مرتبطة بعمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة والقوى. أمثلة: x + 1 و3x² − 5x + 2 و(x − 1) / (x + 2).
وأنواعها:
- كثير حدود: مثل
2x² − 3x + 1. - عبارة كسرية (ناطقة): نسبة كثيري حدود، مثل
(x + 1) / (x − 3)ومقامها غير معدوم.
أولًا: معادلة جداء
القاعدة: جداء عاملين يساوي الصفر إذا وفقط إذا كان أحد العاملين معدومًا:
A × B = 0 يكافئ A = 0 أو B = 0.
مثال: حل (2x − 4)(x + 3) = 0.
2x − 4 = 0فـx = 2.x + 3 = 0فـx = −3.
مجموعة الحلول: S = {−3 ; 2}.
وإذا لم تكن المعادلة في صيغة جداء فنحاول تحليلها: x² − 5x = 0 تصير x(x − 5) = 0 فـ x = 0 أو x = 5.
ثانيًا: معادلة قسمة
القاعدة: حاصل القسمة يساوي الصفر إذا وفقط إذا كان البسط معدومًا والمقام غير معدوم:
A / B = 0 يكافئ A = 0 وB ≠ 0.
مثال: حل (x − 3) / (x + 1) = 0.
- شرط التعريف:
x + 1 ≠ 0أيx ≠ −1. - البسط:
x − 3 = 0فـx = 3، وهو يحقق الشرط.
إذن S = {3}.
ثالثًا: دراسة إشارة عبارة
لحل المتراجحات نحتاج إلى معرفة إشارة العبارة. نستعمل جدول الإشارات:
- نجد جذور كل عامل (القيم التي تعدمه).
- نرتب الجذور على سطر الجدول تصاعديًا.
- ندرس إشارة كل عامل على كل مجال.
- نطبق قاعدة الإشارات على الجداء أو القسمة.
مثال: إشارة (x − 2)(x + 3).
جذر الأول 2 وجذر الثاني −3.
| المجال | x < −3 |
−3 < x < 2 |
x > 2 |
|---|---|---|---|
إشارة x − 2 |
سالبة | سالبة | موجبة |
إشارة x + 3 |
سالبة | موجبة | موجبة |
| إشارة الجداء | موجبة | سالبة | موجبة |
ومنه نحل المتراجحة (x − 2)(x + 3) < 0 فنجد −3 < x < 2 أي S = ]−3 ; 2[. وفي المتراجحة ≥ 0 نضم الجذرين.
رابعًا: الشكل النموذجي لثلاثي حدود
ثلاثي الحدود من الدرجة الثانية a x² + b x + c (مع a ≠ 0) يمكن كتابته بالشكل النموذجي:
a (x − α)² + β
وطريقة الحصول عليه إتمام المربع.
مثال: x² − 6x + 5.
x² − 6x = (x − 3)² − 9.- فـ
x² − 6x + 5 = (x − 3)² − 9 + 5 = (x − 3)² − 4.
الشكل النموذجي: (x − 3)² − 4.
وفائدته: معرفة أصغر قيمة (أو أكبر) للعبارة: هنا −4 عند x = 3. وحل المعادلة: (x − 3)² − 4 = 0 تحلل إلى (x − 3 − 2)(x − 3 + 2) = 0 فـ x = 5 أو x = 1.
خامسًا: حل معادلة من الدرجة الثانية
لحل a x² + b x + c = 0 نحسب المميز:
Δ = b² − 4 a c
- إذا كان
Δ > 0: حلانx₁ = (−b − √Δ) / (2a)وx₂ = (−b + √Δ) / (2a). - إذا كان
Δ = 0: حل مضاعفx = −b / (2a). - إذا كان
Δ < 0: لا حل حقيقي.
مثال: 2x² − 3x − 2 = 0. Δ = 9 + 16 = 25، فـ x₁ = (3 − 5) / 4 = −1/2 وx₂ = (3 + 5) / 4 = 2.
أخطاء شائعة
- القول إن
A × B = 3تعنيA = 3أوB = 3. هذه القاعدة للصفر فقط. - نسيان شرط المقام غير المعدوم في معادلة القسمة.
- في المتراجحة: ضرب الطرفين في عبارة لا نعرف إشارتها.
- الخطأ في إتمام المربع بنسيان طرح
(b/2)². - حساب المميز بخطأ في الإشارة.
- نسيان الأقواس:
(x − 3)²ليستx² − 9.
تمارين للتدرب
- حل:
(x − 1)(2x + 6) = 0. - حل:
(2x + 4) / (x − 5) = 0. - ادرس إشارة
(x + 1)(x − 4)وحل(x + 1)(x − 4) ≥ 0. - اكتب
x² + 4x + 1بالشكل النموذجي. - حل:
x² − 4x + 4 = 0.
الحلول:
x = 1أوx = −3.x = −2(المقام−7غير معدوم).- الحل:
x ≤ −1أوx ≥ 4، أيS = ]−∞ ; −1] ∪ [4 ; +∞[. (x + 2)² − 3.Δ = 0،x = 2.
الشرح المصوّر
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يقدم الأستاذ سليم مختارة في فيديو «راجع العبارات الجبرية من الألف إلى الياء للسنة أولى ثانوي» هذا الدرس الشامل في نحو أربع وعشرين دقيقة بعد أن طلب منه تلاميذ كثيرون ذلك، ويتناول معادلة الجداء ومعادلة القسمة والمتراجحات ودراسة الإشارة والشكل النموذجي وحل معادلة من الدرجة الثانية.