من الكتابة العشرية إلى الكتابة الكسرية لعدد ناطق: العدد العشري الدوري وتحويله إلى كسر - السنة الأولى ثانوي

تعرف أن ⁦0.5 = 1 / 2⁩ و⁦0.25 = 1 / 4⁩، أي أن العدد العشري المنتهي يكتب كسرًا مقامه قوة للعشرة. لكن ماذا عن العدد ⁦0.333...⁩ الذي لا تنتهي أرقامه؟ هل يمكن كتابته على شكل كسر؟ الجواب: نعم، لأنه عدد ناطق. وهذه هي الفكرة المهمة في درس الانتقال من الكتابة العشرية إلى الكتابة الكسرية لعدد ناطق. وهو صعب في البداية، لكنه يصبح سهلًا بالتطبيق، وسؤاله يأتي مباشرة في الاختبارات. تعرض هذه الصفحة العدد العشري الدوري، ثم الطريقة الأساسية، ثم أمثلة متدرجة، وتنتهي بأخطاء شائعة وتمارين محلولة.

تذكير: العدد الناطق

العدد الناطق هو كل عدد يكتب على الشكل ⁦a / b⁩ حيث ⁦a⁩ و⁦b⁩ عددان صحيحان و⁦b⁩ غير معدوم. وكل عدد ناطق له كتابة عشرية إما منتهية (مثل ⁦0.75⁩) أو غير منتهية دورية (مثل ⁦0.333...⁩). أما الأعداد غير الناطقة (مثل ⁦√2⁩ و⁦π⁩) فكتابتها العشرية غير منتهية وغير دورية.

العدد العشري الدوري

عدد عشري تتكرر فيه مجموعة من الأرقام بعد الفاصلة إلى ما لا نهاية، وتسمى هذه المجموعة الدور. أمثلة:

• ⁦0.333...⁩: الدور ⁦3⁩.
• ⁦0.2323...⁩: الدور ⁦23⁩.
• ⁦1.2555...⁩: الدور ⁦5⁩ (بعد رقمين غير دوريين ⁦2⁩).

الطريقة الأساسية

نريد كتابة العدد الدوري ⁦x⁩ على شكل كسر. الفكرة: نضرب في قوة للعشرة لننقل الفاصلة بمقدار الدور، فنحصل على عدد بالجزء العشري نفسه، ثم نطرح لنتخلص من الجزء الدوري.

الحالة 1: دور من رقم واحد بعد الفاصلة مباشرة

مثال: ⁦x = 0.777...⁩

1. نضرب في ⁦10⁩: ⁦10x = 7.777...⁩
2. نطرح: ⁦10x − x = 7.777... − 0.777... = 7⁩
3. إذن ⁦9x = 7⁩ فـ ⁦x = 7 / 9⁩.

مثال آخر: ⁦x = 0.333...⁩ ⇒ ⁦10x − x = 3⁩ ⇒ ⁦9x = 3⁩ ⇒ ⁦x = 1 / 3⁩.

الحالة 2: دور من رقمين بعد الفاصلة مباشرة

مثال: ⁦x = 0.2323...⁩

1. نضرب في ⁦100⁩: ⁦100x = 23.2323...⁩
2. نطرح: ⁦100x − x = 23⁩
3. ⁦99x = 23⁩ فـ ⁦x = 23 / 99⁩.

الحالة 3: عدد صحيح قبل الفاصلة

مثال: ⁦x = 2.4141...⁩

1. نضرب في ⁦100⁩: ⁦100x = 241.4141...⁩
2. نطرح: ⁦99x = 239⁩
3. ⁦x = 239 / 99⁩.

الحالة 4: أرقام غير دورية قبل الدور

مثال: ⁦x = 1.2555...⁩ (الدور ⁦5⁩ يبدأ بعد الرقم ⁦2⁩).

1. نضرب في ⁦10⁩ لنجعل الدور بعد الفاصلة مباشرة: ⁦10x = 12.555...⁩
2. نضرب في ⁦100⁩: ⁦100x = 125.555...⁩
3. نطرح: ⁦100x − 10x = 125.555... − 12.555... = 113⁩
4. ⁦90x = 113⁩ فـ ⁦x = 113 / 90⁩.

خلاصة الطريقة

1. حدد الدور (الأرقام المتكررة).
2. اضرب العدد في ⁦10ⁿ⁩ حيث ⁦n⁩ عدد أرقام الدور (وإذا كانت هناك أرقام غير دورية فاضربه مرتين).
3. اطرح لتزيل الجزء الدوري.
4. اقسم لتجد ⁦x⁩ ثم بسّط الكسر إن أمكن.

تحقق من الجواب

نقسم البسط على المقام في الآلة الحاسبة أو بالقسمة المطولة، فإذا ظهر الدور نفسه فالجواب صحيح: ⁦7 ÷ 9 = 0.777...⁩.

أخطاء شائعة

• الضرب في قوة للعشرة غير مناسبة: عدد الأصفار يجب أن يساوي عدد أرقام الدور.
• الخطأ عند الطرح بنسيان الجزء الصحيح.
• نسيان تبسيط الكسر في النهاية.
• الخلط بين العدد الدوري والعدد غير الناطق.
• كتابة ⁦0.999... = 0.9⁩ وعدم الانتباه إلى أنه يساوي ⁦1⁩.
• في الحالة 4: الضرب مرة واحدة فقط فلا يزول الدور.

تمارين للتدرب

اكتب الأعداد الآتية على شكل كسر:

1. ⁦0.111...⁩
2. ⁦0.4545...⁩
3. ⁦3.666...⁩
4. ⁦0.1666...⁩

الحلول:

1. ⁦x = 1 / 9⁩.
2. ⁦100x − x = 45⁩ فـ ⁦99x = 45⁩ فـ ⁦x = 45 / 99 = 5 / 11⁩.
3. ⁦10x − x = 33⁩ فـ ⁦9x = 33⁩ فـ ⁦x = 11 / 3⁩.
4. ⁦10x = 1.666...⁩، ⁦100x = 16.666...⁩، ⁦90x = 15⁩ فـ ⁦x = 1 / 6⁩.

الشرح المصوّر

لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يقدم الأستاذ ناصر في فيديو «الانتقال من الكتابة الكسرية إلى الكتابة العشرية لعدد ناطق، سنة أولى ثانوي» هذا الدرس في نحو إحدى عشرة دقيقة، مبينًا أنها تفصيلة صعبة فأفردها بفيديو وحده، وينصح التلميذ بالصبر وبإحضار ورقة وقلم والتجريب بنفسه.