المجموعات الأساسية للأعداد: الطبيعية والصحيحة والعشرية والناطقة والحقيقية والاحتواءات بينها - السنة الأولى ثانوي

يبدأ برنامج الرياضيات في السنة الأولى ثانوي بدرس يبدو بسيطًا لكنه يؤسس لكل ما بعده: المجموعات الأساسية للأعداد. فكل ما ستدرسه في الدوال والمعادلات والمتراجحات يحدث داخل مجموعة أعداد معينة، ولذلك تحتاج إلى أن تعرف أنواع الأعداد وما بينها من علاقات. ومعظم ما فيه يخص الأعداد الحقيقية التي تنتهي إليها كل المجموعات الأخرى. تعرض هذه الصفحة المجموعات الخمس بالترتيب، ثم الاحتواءات بينها، ثم الأعداد غير الناطقة، ثم الرموز، ثم تمثيلها على المستقيم المدرج، وتنتهي بأخطاء متكررة وتمارين محلولة.

المجموعات الأساسية

1) الأعداد الطبيعية ⁦ℕ⁩

هي أعداد العد: ⁦0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ...⁩. ونكتب ⁦ℕ = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ...}⁩. ولا يوجد فيها عدد سالب ولا عدد بفاصلة.

2) الأعداد الصحيحة النسبية ⁦ℤ⁩

تضم الأعداد الطبيعية ومعاكساتها السالبة: ⁦... ; −3 ; −2 ; −1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ...⁩.

3) الأعداد العشرية ⁦𝔻⁩

الأعداد التي يمكن كتابتها على الشكل ⁦a / 10ⁿ⁩ حيث ⁦a⁩ صحيح و⁦n⁩ طبيعي، أي ذات كتابة عشرية منتهية (عدد منته من الأرقام بعد الفاصلة). أمثلة: ⁦0.5⁩ و⁦−2.75⁩ و⁦3⁩ و⁦1.004⁩.

4) الأعداد الناطقة ⁦ℚ⁩

الأعداد التي تكتب على الشكل ⁦a / b⁩ حيث ⁦a⁩ صحيح و⁦b⁩ صحيح غير معدوم. أمثلة: ⁦1 / 3⁩ و⁦−7 / 4⁩ و⁦5⁩ و⁦0.75⁩.

وكتابتها العشرية إما منتهية أو غير منتهية دورية (مثل ⁦1 / 3 = 0.333...⁩).

5) الأعداد الحقيقية ⁦ℝ⁩

تضم كل ما سبق إضافة إلى الأعداد غير الناطقة، وتمثل كل نقاط المستقيم المدرج.

الأعداد غير الناطقة

هي الأعداد الحقيقية التي لا يمكن كتابتها على الشكل ⁦a / b⁩. كتابتها العشرية غير منتهية وغير دورية. أمثلة:

• ⁦√2⁩ و⁦√3⁩ و⁦√5⁩ (الجذور التربيعية للأعداد التي ليست مربعات كاملة).
• ⁦π⁩ (نسبة محيط الدائرة إلى قطرها).

والجذر التربيعي لمربع كامل ناطق: ⁦√9 = 3⁩.

ويعرف أن ⁦√2⁩ غير ناطق ببرهان بالخلف: لو كان ⁦√2 = a / b⁩ كسرًا غير قابل للاختزال لوصلنا إلى تناقض، فلا يوجد كسر مربعه ⁦2⁩.

الاحتواء بين المجموعات

كل مجموعة تحتوي سابقتها:

⁦ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ⁩

أي أن:

• كل عدد طبيعي هو صحيح.
• كل عدد صحيح هو عشري (مثلًا ⁦−3 = −3.0⁩).
• كل عدد عشري هو ناطق (مثلًا ⁦0.25 = 1 / 4⁩).
• كل عدد ناطق هو حقيقي.

والعكس غير صحيح: ⁦−1⁩ صحيح وليس طبيعيًا، و⁦0.5⁩ عشري وليس صحيحًا، و⁦1 / 3⁩ ناطق وليس عشريًا، و⁦√2⁩ حقيقي وليس ناطقًا.

الرموز: الانتماء والاحتواء

• الانتماء ⁦∈⁩: بين عنصر ومجموعة. ⁦3 ∈ ℕ⁩، و⁦√2 ∈ ℝ⁩.
• عدم الانتماء ⁦∉⁩: ⁦−1 ∉ ℕ⁩، و⁦√2 ∉ ℚ⁩.
• الاحتواء ⁦⊂⁩: بين مجموعتين. ⁦ℕ ⊂ ℤ⁩.
• الاتحاد ⁦∪⁩: عناصر إحدى المجموعتين على الأقل.
• التقاطع ⁦∩⁩: العناصر المشتركة.

تنبيه: لا نكتب ⁦3 ⊂ ℕ⁩ ولا ⁦ℕ ∈ ℤ⁩.

المستقيم المدرج

يمثل كل عدد حقيقي بنقطة وحيدة على مستقيم مدرج (مستقيم عليه مبدأ ووحدة واتجاه)، وكل نقطة منه تقابل عددًا حقيقيًا وحيدًا. وهذه من أهم ميزات ⁦ℝ⁩: لا فراغات فيه. فالمستقيم المدرج للأعداد الناطقة وحدها فيه فراغات (مثل مكان ⁦√2⁩).

تمارين للتدرب

1. أي المجموعات الآتية ينتمي إليها العدد ⁦−4⁩؟
2. هل ⁦0.1010010001...⁩ (يتزايد عدد الأصفار) ناطق؟
3. صحح: ⁦2 ⊂ ℕ⁩.
4. ما أصغر مجموعة تحتوي ⁦−7 / 3⁩؟

الحلول:

1. ⁦ℤ⁩ و⁦𝔻⁩ و⁦ℚ⁩ و⁦ℝ⁩، وليس ⁦ℕ⁩.
2. غير ناطق لأن كتابته العشرية غير دورية.
3. ⁦2 ∈ ℕ⁩، أو ⁦{2} ⊂ ℕ⁩.
4. ⁦ℚ⁩.

الشرح المصوّر

لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يقدم الأستاذ معلمي تاج الوقار في فيديو «المجموعات الأساسية للأعداد، رياضيات السنة أولى ثانوي علمي وأدبي، الدرس 01» هذا الدرس في نحو سبع وعشرين دقيقة، وهو أول درس في مادة الرياضيات لهذا المستوى، يعرض فيه المجموعات الأساسية للأعداد التي تنتهي كلها إلى الأعداد الحقيقية.