الأعداد القابلة للإنشاء: إنشاء الأعداد الناطقة بمبرهنة طالس وإنشاء الأعداد الصماء بالفيثاغورس - السنة الأولى ثانوي

هل يمكنك أن ترسم على مستقيم مدرج النقطة التي فاصلتها ⁦√2⁩ بالضبط؟ لا يمكن ذلك بقراءة قيمة عشرية تقريبية على المسطرة، لكن يمكن إنشاؤها بدقة بالمدور والمسطرة وحدهما. هذا هو موضوع الدرس الثاني في رياضيات السنة الأولى ثانوي: الأعداد القابلة للإنشاء. وهو من الدروس التي يهرب منها كثير من التلاميذ، مع أنه بسيط جدًا إذا اتبعت الخطوات. تعرض هذه الصفحة تعريف العدد القابل للإنشاء، ثم إنشاء الأعداد الناطقة، ثم إنشاء الأعداد غير الناطقة (الصماء)، وتنتهي بأخطاء متكررة وتمارين.

التعريف

لنأخذ مستقيمًا ⁦(OI)⁩ مزودًا بمعلم أصله ⁦O⁩ ونقطة الوحدة ⁦I⁩ (أي ⁦OI = 1⁩). نقول عن العدد ⁦x⁩ إنه قابل للإنشاء إذا أمكننا إنشاء النقطة التي فاصلتها ⁦x⁩ على هذا المستقيم باستعمال المدور والمسطرة غير المدرجة فقط.

أي أننا لا نستعمل التدريج، ولا نقيس بالمسطرة، بل نرسم مستقيمات بالمسطرة (من غير قياس) ونرسم أقواسًا ودوائر بالمدور.

الأعداد الصحيحة

كل عدد صحيح قابل للإنشاء: نضع بالمدور المسافة ⁦OI = 1⁩ عدة مرات على المستقيم. فنحصل على ⁦2⁩ و⁦3⁩ و⁦−1⁩ وهكذا.

إنشاء الأعداد الناطقة

نستعمل مبرهنة طالس. نريد إنشاء ⁦p / q⁩ حيث ⁦p⁩ و⁦q⁩ صحيحان.

مثال: إنشاء العدد ⁦3 / 5⁩

1. نرسم مستقيمًا ثانيًا ⁦(d)⁩ مائلًا يمر بـ ⁦O⁩.
2. على ⁦(d)⁩ نعين بالمدور خمس نقاط متساوية البعد: ⁦A₁ ; A₂ ; A₃ ; A₄ ; A₅⁩ بحيث ⁦OA₁ = A₁A₂ = ... = 1⁩ (وحدة اختيارية).
3. نصل ⁦A₅⁩ بـ ⁦I⁩.
4. من ⁦A₃⁩ نرسم مستقيمًا موازيًا لـ ⁦(A₅I)⁩ يقطع ⁦(OI)⁩ في النقطة ⁦M⁩.
5. بتطبيق مبرهنة طالس: ⁦OM / OI = OA₃ / OA₅ = 3 / 5⁩.

فالنقطة ⁦M⁩ فاصلتها ⁦3 / 5⁩. وهذا يثبت أن العدد ⁦3 / 5⁩ قابل للإنشاء.

نتيجة: كل عدد ناطق قابل للإنشاء، لأنه يكتب ⁦p / q⁩، ونطبق الطريقة نفسها.

إنشاء الأعداد غير الناطقة

نستعمل مبرهنة فيثاغورس والدوائر.

إنشاء العدد ⁦√2⁩

1. نرسم مستقيمًا عموديًا على ⁦(OI)⁩ في النقطة ⁦I⁩ (بالمدور والمسطرة).
2. على هذا المستقيم نعين النقطة ⁦J⁩ بحيث ⁦IJ = 1⁩.
3. المثلث ⁦OIJ⁩ قائم في ⁦I⁩ وضلعاه ⁦OI = IJ = 1⁩.
4. بفيثاغورس: ⁦OJ² = OI² + IJ² = 1 + 1 = 2⁩، إذن ⁦OJ = √2⁩.
5. نرسم دائرة مركزها ⁦O⁩ ونصف قطرها ⁦OJ⁩. تقطع المستقيم ⁦(OI)⁩ في نقطة ⁦K⁩ فاصلتها ⁦√2⁩.

إنشاء العدد ⁦√3⁩

1. ننشئ النقطة ⁦K⁩ فاصلتها ⁦√2⁩ كما سبق.
2. نرسم عموديًا على ⁦(OI)⁩ في ⁦K⁩ ونعين ⁦L⁩ بحيث ⁦KL = 1⁩.
3. المثلث ⁦OKL⁩ قائم في ⁦K⁩ وضلعاه ⁦OK = √2⁩ و⁦KL = 1⁩.
4. بفيثاغورس: ⁦OL² = 2 + 1 = 3⁩، إذن ⁦OL = √3⁩.
5. دائرة مركزها ⁦O⁩ ونصف قطرها ⁦OL⁩ تقطع ⁦(OI)⁩ في نقطة فاصلتها ⁦√3⁩.

إنشاء الجذر التربيعي لعدد ⁦a⁩ موجب (قابل للإنشاء)

بطريقة عامة بالمثلث القائم الذي ارتفاعه هو الوسط الهندسي:

1. على المستقيم، نعين النقطة ⁦A⁩ فاصلتها ⁦−1⁩ والنقطة ⁦B⁩ فاصلتها ⁦a⁩ (بحيث ⁦AB = a + 1⁩).
2. ننشئ الدائرة التي قطرها ⁦[AB]⁩.
3. نرسم عموديًا على ⁦(AB)⁩ في النقطة ⁦O⁩، فيقطع الدائرة في ⁦H⁩.
4. في المثلث القائم ⁦AHB⁩: ارتفاعه ⁦OH² = OA × OB = 1 × a = a⁩، إذن ⁦OH = √a⁩.
5. بالمدور ننقل ⁦OH⁩ على المستقيم فنحصل على النقطة فاصلتها ⁦√a⁩.

نتيجة: إذا كان ⁦a⁩ قابلًا للإنشاء وموجبًا فإن ⁦√a⁩ قابل للإنشاء.

ملخص

أخطاء شائعة

• استعمال التدريج على المسطرة لقياس الأطوال.
• نسيان أن المستقيم الموازي يجب أن يمر بالنقطة المناسبة (⁦A₃⁩) ويوازي (⁦A₅I⁩).
• الخلط بين العدد الناطق والعدد القابل للإنشاء: الثاني أعم.
• ترك التبرير بمبرهنة طالس أو فيثاغورس.
• رسم عمودي غير دقيق دون إنشاء بالمدور.
• القول إن كل عدد حقيقي قابل للإنشاء.

تمارين للتدرب

1. صف إنشاء العدد ⁦2 / 3⁩.
2. انشئ بالوصف العدد ⁦√5⁩.
3. هل ⁦1 + √2⁩ قابل للإنشاء؟
4. بيّن أن ⁦3√2⁩ قابل للإنشاء.

الحلول:

1. على مستقيم ثانٍ من ⁦O⁩ نعين ثلاث وحدات ⁦A₁ ; A₂ ; A₃⁩، نصل ⁦A₃⁩ بـ ⁦I⁩، ونرسم من ⁦A₂⁩ موازيًا لـ ⁦(A₃I)⁩، فتقطع النقطة فاصلتها ⁦2 / 3⁩.
2. مثلث قائم ضلعاه ⁦2⁩ و⁦1⁩: وتره ⁦√5⁩. نرسم دائرة مركزها ⁦O⁩ ونصف قطرها الوتر.
3. نعم، نجمع الوحدة إلى ⁦√2⁩ بنقل المسافة بالمدور.
4. ننشئ ⁦√2⁩ ثم نضاعف المسافة ثلاث مرات بالمدور.

الشرح المصوّر

لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يشرح المعلم زكرياء في فيديو «الدرس رقم 2: الأعداد القابلة للإنشاء، أولى ثانوي» هذا الدرس في نحو أربع عشرة دقيقة بطريقة سهلة بسيطة، ويذكر أن أغلب التلاميذ يهربون منه، وأنه يضم إنشاء الأعداد الناطقة وإنشاء الأعداد الصماء.