يقترح هذا الدرس فكرة يتكرر ورودها في فروض واختبارات السنة الأولى ثانوي: حل متراجحة من الدرجة الثانية على شكل حاصل قسمة عبارتين جبريتين. والطريقة الأساسية جدول الإشارة. تعرض الصفحة المثال محلولا، وتنتهي بالقاعدة وتمارين.
نص المسألة
حل في R المتراجحة:
(-3x² + 6x) / (x² - 2) ≥ 0
أي أن حاصل القسمة موجب أو معدوم.
الخطوات
1. نحلل البسط والمقام
- البسط:
-3x² + 6x = -3x(x - 2)، جذراه0و2. - المقام:
x² - 2 = (x - √2)(x + √2)، جذراه-√2و√2.
2. نعين قيم الممنوعة
لا يعرف حاصل القسمة عندما يعدم المقام: فالقيمتان √2 و-√2 ممنوعتان (تستثنيان من الحلول).
3. جدول الإشارة
نرتب القيم الحرجة من الأصغر إلى الأكبر: -√2 ≈ -1.41 ثم 0 ثم √2 ≈ 1.41 ثم 2.
| المجال | إشارة البسط -3x(x-2) |
إشارة المقام x²-2 |
الحاصل |
|---|---|---|---|
x < -√2 |
سالبة | موجبة | سالب |
-√2 < x < 0 |
سالبة | سالبة | موجب |
0 < x < √2 |
موجبة | سالبة | سالب |
√2 < x < 2 |
موجبة | موجبة | موجب |
x > 2 |
سالبة | موجبة | سالب |
(البسط موجب بين جذريه 0 و2 لأن معامل x² فيه سالب، والمقام سالب بين جذريه لأن معامله موجب.)
4. نقرأ الحلول (الحاصل موجب أو معدوم)
- الحاصل موجب في المجالين:
(-√2 ; 0)و(√2 ; 2). - الحاصل معدوم عندما يعدم البسط ولا يعدم المقام:
x = 0وx = 2، وهما مقبولتان. - القيمتان
±√2مرفوضتان.
مجموعة الحلول: الأعداد من -√2 (غير مشمولة) إلى 0 (مشمولة)، والأعداد من √2 (غير مشمولة) إلى 2 (مشمولة). أي: S = ]-√2 ; 0] ∪ ]√2 ; 2].
ملاحظة مهمة
عبارة من الدرجة الثانية تأخذ إشارة معامل x² خارج جذريها، وعكسها بين الجذرين. وهذه القاعدة تغني عن حساب الإشارة بتجربة قيم.
تمارين
- حل
(x - 1)(x + 3) ≥ 0. (x ≤ -3أوx ≥ 1) - ما القيم الممنوعة في
1/(x² - 9)؟ (3 و-3) - حل
x² - 4 < 0. (بين-2و2)
نصائح
- حلل كل عبارة قبل رسم الجدول.
- لا تنس استبعاد جذور المقام.
- تحقق بتجربة قيمة من كل مجال.
أخطاء شائعة
- إدخال جذور المقام في الحلول.
- ضرب طرفي المتراجحة في المقام دون معرفة إشارته.
- الخطأ في إشارة المعامل السالب.
أسئلة يطرحها الأولياء
س: كم من الوقت أخصص لمراجعة هذا الدرس؟ ج: عشرون دقيقة يوميًا لمدة ثلاثة أيام تكفي، مع تمرينين في اليوم الرابع للتأكد من الفهم.
س: ابني يعرف الدرس لكنه يخطئ في الاختبار، لماذا؟ ج: غالبًا بسبب التسرع أو عدم قراءة التعليمة جيدًا. درّبه على قراءة السؤال مرتين وتسطير الكلمات المهمة قبل الإجابة، وعلى مراجعة الجواب في آخر الحصة.
س: هل أعتمد على الكتب الخارجية؟ ج: يمكن الاستعانة بها بعد إتقان الكتاب المدرسي، والأهم أن يفهم الطفل لا أن يحل أكبر عدد من التمارين.
كيف أتحقق من أن الدرس قد فهم؟
اطلب من ابنك أن يشرح الدرس لك أو لأخيه الأصغر بكلماته، وأن يعطي مثالًا من عنده، وأن يحل تمرينًا لم يره من قبل. فإذا استطاع ذلك فقد فهم، وإن تردد فعد معه إلى الأمثلة الملموسة ثم أعد التجربة.
الشرح المصوّر
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يقدم المعلم زكرياء في فيديو «ليلة الرعد، أولى ثانوي، مراجعة للفصل الثالث: العبارات الجبرية» هذه المراجعة في نحو إحدى عشرة دقيقة.