المعادلة من الدرجة الثانية من أول ما يصادفه تلميذ السنة الأولى ثانوي في الرياضيات، ثم تعود معه في كل سنة: في دراسة الدوال وفي التحليل وفي حل المسائل. والبداية الصحيحة ليست حفظ قانون الحل، بل فهم من أين يأتي. تشرح هذه الصفحة الشكل النموذجي لثلاثي الحدود، وكيف يخرج منه المميز Δ وحالات الحل الثلاث، ثم تعطي أمثلة وحيلًا سريعة وأخطاء شائعة وتمارين بحلولها.
ثلاثي الحدود
عبارة من الشكل a x² + b x + c حيث a و b و c أعداد حقيقية و a ≠ 0 تسمى ثلاثي حدود من الدرجة الثانية، لأن فيها ثلاثة حدود. وحل المعادلة a x² + b x + c = 0 معناه إيجاد قيم x التي تجعل العبارة تساوي الصفر.
الشكل النموذجي
نأخذ a عاملًا مشتركًا: a x² + b x + c = a × (x² + (b / a) x + c / a). نلاحظ أن (x + b / (2a))² = x² + (b / a) x + b² / (4a²)، ومنه x² + (b / a) x = (x + b / (2a))² − b² / (4a²). نعوّض ونوحد المقامات فنجد:
a x² + b x + c = a × [ (x + b / (2a))² − Δ / (4a²) ] حيث Δ = b² − 4ac
هذه الكتابة هي الشكل النموذجي. تكفيك معرفة نتيجتها، لكن فهم خطواتها يجعلك تتحقق من نفسك إن نسيت. الرمز Δ (دلتا) يسمى مميز المعادلة.
الحالات الثلاث للمميز
المعادلة a x² + b x + c = 0 تكافئ (x + b / (2a))² = Δ / (4a²)، والطرف الأيسر مربع فلا يكون سالبًا. ومنه:
- إذا كان
Δ > 0: للمعادلة حلان حقيقيان مختلفانx₁ = (−b − √Δ) / (2a)وx₂ = (−b + √Δ) / (2a). - إذا كان
Δ = 0: للمعادلة حل واحد مضاعفx₀ = −b / (2a). - إذا كان
Δ < 0: لا حل حقيقي للمعادلة، لأن مربعًا لا يساوي عددًا سالبًا.
وفي الحالتين الأوليين يمكن تحليل ثلاثي الحدود: a x² + b x + c = a (x − x₁)(x − x₂)، وفي حالة Δ = 0 يصبح a (x − x₀)².
حيل تسرّع الحل
- إذا كان
c = 0: نحلل بإخراجxعاملًا مشتركًا:a x² + b x = x (a x + b)، فالحلان0و−b / a. - إذا كان
b = 0:a x² + c = 0تعطيx² = −c / a، فيوجد حلان±√(−c / a)إذا كان−c / a > 0، ولا حل إن كان سالبًا. - إذا كان
a + b + c = 0: فالعدد 1 حل، والحل الآخرc / a. وإذا كانa − b + c = 0فالعدد−1حل والآخر−c / a. - للتحقق من حلين: مجموعهما
x₁ + x₂ = −b / aوجداؤهماx₁ × x₂ = c / a.
متى أحلل ومتى أستعمل المميز؟
قبل أن تحسب المميز، ألقِ نظرة على المعادلة. إذا ظهر لك عامل مشترك أو متطابقة شهيرة فالتحليل أسرع. فالمعادلة x² − 9 = 0 تُحل مباشرة بالمتطابقة الشهيرة (x − 3)(x + 3) = 0، والمعادلة x² − 5x + 6 = 0 تُحلل بالبحث عن عددين مجموعهما 5 وجداؤهما 6، وهما 2 و 3، فتصبح (x − 2)(x − 3) = 0 ومنه الحلان 2 و 3. أما إذا كانت المعاملات كبيرة أو كسرية، أو لم تظهر لك طريقة التحليل بسرعة، فالمميز هو الطريقة التي تعمل في كل الأحوال. والطريقتان لا تتعارضان: استعمل التحليل حين يظهر لك، والمميز حين لا يظهر، وتحقق من جوابك بعلاقتي المجموع والجداء.
أمثلة محلولة
مثال 1. 2x² − 5x + 3 = 0. هنا Δ = 25 − 24 = 1 > 0، فالحلان x = (5 ± 1) / 4، أي 3 / 2 و 1. تحقق بالحيلة: a + b + c = 2 − 5 + 3 = 0 فالعدد 1 حل، والآخر c / a = 3 / 2.
مثال 2. x² − 6x + 9 = 0. Δ = 36 − 36 = 0، فللمعادلة حل مضاعف x = 3. وفعلًا العبارة تساوي (x − 3)².
مثال 3. x² + x + 1 = 0. Δ = 1 − 4 = −3 < 0، فلا حل حقيقي.
مثال 4 (مسألة). مستطيل محيطه 20 وساحته 21. إذا كان طول أحد ضلعيه x فالآخر 10 − x، والمساحة x (10 − x) = 21، أي x² − 10x + 21 = 0. هنا Δ = 100 − 84 = 16، فالحلان x = (10 ± 4) / 2، أي 7 و 3. بعدا المستطيل 7 و 3.
مثال 5 (معادلة تؤول إلى الدرجة الثانية). x⁴ − 5x² + 4 = 0. نضع t = x² مع t ≥ 0، فتصبح t² − 5t + 4 = 0 أي (t − 1)(t − 4) = 0، فـ t = 1 أو t = 4، ومنه x = ±1 أو x = ±2.
مثال 6. x + 1 / x = 5 / 2 مع x ≠ 0. نضرب في x فنجد x² − (5 / 2) x + 1 = 0، أي 2x² − 5x + 2 = 0. هنا Δ = 25 − 16 = 9، فالحلان x = (5 ± 3) / 4، أي 2 و 1 / 2.
أخطاء شائعة
- قراءة المعاملات قبل أن تنقل كل الحدود إلى طرف واحد ويصبح الطرف الآخر صفرًا.
- أخطاء الإشارات. إذا كان
b = −5فإن−b = 5، وb² = 25وليس−25. اكتب القيمة بين قوسين عند التعويض. - نسيان
2aفي المقام، أو قسمة جزء من البسط فقط. - القسمة على
xفي معادلة ما، فيضيع الحلx = 0. أخرجxعاملًا مشتركًا بدل القسمة. - القول إن المعادلة لها حل عندما يكون
Δ < 0. في هذه الحالة لا حل في ℝ. - كتابة
Δ = b² − 4acبتبديل الإشارة أو بنسيان الجداء4 × a × c.
تمارين للتدرب
- حل
x² − 7x + 12 = 0. - حل
3x² + 2x − 1 = 0. - حل
4x² − 4x + 1 = 0. - حل
x² + 2x + 5 = 0. - حلل
x² − x − 6.
الحلول:
Δ = 49 − 48 = 1، فـx = (7 ± 1) / 2، أي 4 و 3.Δ = 4 + 12 = 16، فـx = (−2 ± 4) / 6، أي1 / 3و−1. وهذا يوافق الحيلة:a − b + c = 3 − 2 − 1 = 0.Δ = 16 − 16 = 0، فالحل المضاعفx = 1 / 2.Δ = 4 − 20 = −16 < 0، فلا حل حقيقي.Δ = 1 + 24 = 25، فالجذرانx = (1 ± 5) / 2، أي 3 و−2، ومنهx² − x − 6 = (x − 3)(x + 2).
الشرح المصوّر وملفات المراجعة
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يعرض الأستاذ سليم مختارة في فيديو «حل معادلات من الدرجة الثانية (المميز دلتا)» الدرس في نحو ثلاث وعشرين دقيقة: يبدأ بالشكل النموذجي ثم يحل المعادلات بحالاتها الممكنة.
وللمراجعة بملف جاهز، اطلع على هذا الملخص في الموقع: