البرهان بالخلف للسنة الأولى ثانوي: المبدأ والخطوات وأمثلة محلولة

يتعلم تلميذ السنة الأولى ثانوي في درس المنطق عدة أنواع من البراهين: البرهان المباشر، والبرهان بعكس النقيض، والبرهان بالحالات، والبرهان بالمثال المضاد، ثم أشهرها وأقواها: البرهان بالخلف. وهو أسلوب يبدو غريبا أول الأمر لأننا نفترض عكس ما نريد إثباته! لكن هذه الغرابة هي سر قوته. تعرض الصفحة المبدأ بوضوح مع أمثلة تأتي كثيرا في الاختبارات.

ما المقصود بالبرهان بالخلف؟

لإثبات صحة عبارة ⁦P⁩ بالخلف، نفترض أن ⁦P⁩ خاطئة (أي أن نفيها صحيح)، ونتابع الاستدلال حتى نصل إلى تناقض (شيء مستحيل أو يخالف معطى أو حقيقة معروفة). وبما أن الاستدلال سليم، فالخطأ في الفرضية الأولى، إذن ⁦P⁩ صحيحة.

ويسمى أيضا البرهان بالتناقض أو الاستدلال بالخلف.

الخطوات

1. اكتب العبارة المراد إثباتها ⁦P⁩.
2. افترض عكسها: «نفرض أن ⁦P⁩ خاطئة».
3. استنتج بالاستدلال الصحيح (باستعمال التعاريف والخواص) حتى تصل إلى تناقض.
4. اكتب التناقض صراحة: «وهذا تناقض».
5. استنتج: «إذن الفرض خاطئ، وبالتالي ⁦P⁩ صحيحة».

متى نستعمله؟

• عندما يكون المطلوب إثبات عدم وجود شيء (لا يوجد عدد... ، لا تتقاطع...).
• عندما يكون المطلوب إثبات أن عددا غير ناطق.
• عندما يكون البرهان المباشر صعبا ونفي العبارة يعطي معلومة قابلة للاستعمال.

كيف نكتب نفي عبارة؟

يتوقف نجاح البرهان بالخلف على كتابة النفي بشكل صحيح:

مثال (1): الجذر التربيعي للعدد 2 غير ناطق

المطلوب: أثبت أن ⁦√2⁩ ليس عددا ناطقا.

البرهان:

1. نفرض أن ⁦√2⁩ ناطق، أي ⁦√2 = p / q⁩ حيث ⁦p⁩ و⁦q⁩ عددان طبيعيان غير معدومين، والكسر غير قابل للاختزال (القاسم المشترك الأكبر لهما 1).
2. بتربيع الطرفين: ⁦2 = p² / q²⁩، أي ⁦p² = 2 q²⁩.
3. إذن ⁦p²⁩ زوجي، ومنه ⁦p⁩ زوجي (لأن مربع عدد فردي فردي). نكتب ⁦p = 2k⁩.
4. نعوض: ⁦4 k² = 2 q²⁩، أي ⁦q² = 2 k²⁩. فـ⁦q²⁩ زوجي، ومنه ⁦q⁩ زوجي.
5. وهكذا ⁦p⁩ و⁦q⁩ كلاهما زوجي، أي يقبلان القسمة على 2.
6. وهذا تناقض مع كون الكسر غير قابل للاختزال.
7. إذن الفرض خاطئ، فـ⁦√2⁩ غير ناطق.

مثال (2): لا يوجد أكبر عدد أولي

المطلوب: أثبت أن عدد الأعداد الأولية غير منته.

1. نفرض أن عددها منته، وهي ⁦p1⁩ و⁦p2⁩ ... حتى ⁦pn⁩.
2. نعتبر العدد ⁦N = p1 × p2 × ... × pn + 1⁩.
3. ⁦N⁩ أكبر من كل الأعداد الأولية المفترضة، فهو ليس أوليا (وإلا لكان عددا أوليا خارج القائمة).
4. إذن يقبل القسمة على عدد أولي منها ⁦pi⁩.
5. لكن ⁦pi⁩ يقسم حاصل الضرب ⁦p1 × ... × pn⁩، فيقسم الفرق ⁦N - p1 × ... × pn = 1⁩.
6. وهذا مستحيل لأن ⁦pi⁩ أكبر من 1: تناقض.
7. إذن عدد الأعداد الأولية غير منته.

وهذا برهان إقليدس، وهو من أجمل براهين الرياضيات.

مثال (3): تمرين مدرسي بسيط

المطلوب: أثبت أنه لا يوجد عدد طبيعي ⁦n⁩ يحقق ⁦n² = 2 n + 15⁩ إذا كان ⁦n⁩ زوجيا... وبالتبسيط: أثبت أن العدد ⁦n² + 1⁩ ليس مربعا كاملا لأي عدد طبيعي ⁦n⁩ غير معدوم.

1. نفرض أن ⁦n² + 1 = m²⁩ حيث ⁦m⁩ طبيعي.
2. إذن ⁦m² - n² = 1⁩، أي ⁦(m - n)(m + n) = 1⁩.
3. العددان ⁦m - n⁩ و⁦m + n⁩ طبيعيان حاصل ضربهما 1، إذن كلاهما 1.
4. ومنه ⁦m + n = 1⁩ و⁦m - n = 1⁩، فيكون ⁦n = 0⁩.
5. وهذا تناقض لأن ⁦n⁩ غير معدوم.
6. إذن ⁦n² + 1⁩ ليس مربعا كاملا.

مقارنة مع باقي أنواع البراهين

والفرق الدقيق بين البرهان بعكس النقيض والبرهان بالخلف: الأول يبرهن على قضية شرطية ويصل إلى نقيض الفرض مباشرة، والثاني أعم ويصل إلى أي تناقض.

أخطاء شائعة

• كتابة نفي خاطئ (نفي «كل» يعطي «يوجد» وليس «لا يوجد»).
• نسيان تصريح «وهذا تناقض» في نهاية الاستدلال.
• الاعتقاد أن التناقض يجب أن يخالف الفرض الأصلي فقط، فقد يخالف أيضا حقيقة معروفة.
• التوقف قبل الوصول إلى تناقض والاكتفاء بنتيجة غريبة.
• استعمال البرهان بالخلف حيث يكفي البرهان المباشر (يقلل الوضوح).

تمارين للتدرب

1. أثبت بالخلف أن ⁦√3⁩ غير ناطق.
2. أثبت أنه لا يوجد عددان صحيحان ⁦x⁩ و⁦y⁩ يحققان ⁦2x + 4y = 7⁩. (الطرف الأيسر زوجي دائما والطرف الأيمن فردي)
3. أثبت أن المجموع ⁦a + b⁩ لعدد ناطق ⁦a⁩ وعدد غير ناطق ⁦b⁩ غير ناطق.
4. أثبت أنه ليس لمعادلة ⁦x² = 3⁩ حل ناطق.

نصائح

• ابدأ دائما بجملة «نفرض بالخلف أن...» لتوضح للمصحح الأسلوب.
• حدد بدقة ما هو المتناقض (معطى أو خاصية معروفة).
• اختم بجملة الاستنتاج الكاملة.

الشرح المصوّر

لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يقدم الأستاذ كساسي في فيديو «شرح البرهان بالخلف، أولى ثانوي» هذا الدرس بأمثلة موسعة.