الأعداد الأولية: تعريفها واختبار أولية عدد والتحليل إلى جداء عوامل أولية وتطبيقاته - السنة الأولى ثانوي

بعد أن تعرفت في السنة الرابعة متوسط على العددين الأوليين فيما بينهما، تتعرف في السنة الأولى ثانوي على العدد الأولي نفسه، وهو لبنة الأعداد الطبيعية كما أن الذرة لبنة المادة. وتتعلم كيف تختبر أولية عدد، وكيف تحلل عددًا إلى جداء عوامل أولية، وكيف تستفيد من ذلك. تعرض هذه الصفحة التعريف، ثم الاختبار، ثم التحليل، ثم التطبيقات، وتنتهي بأخطاء متكررة وتمارين محلولة.

تذكير: العددان الأوليان فيما بينهما

عددان طبيعيان أوليان فيما بينهما إذا كان قاسمهما المشترك الأكبر ⁦PGCD⁩ يساوي ⁦1⁩، أي ليس لهما قاسم مشترك غير ⁦1⁩. وهذا يختلف عن العدد الأولي الذي يتعلق بعدد واحد.

العدد الأولي

العدد الأولي هو عدد طبيعي له قاسمان بالضبط: ⁦1⁩ ونفسه.

• ⁦2⁩ أولي: قاسماه ⁦1⁩ و⁦2⁩.
• ⁦3⁩ و⁦5⁩ و⁦7⁩ و⁦11⁩ و⁦13⁩ أولية.
• ⁦9⁩ ليس أوليًا: قواسمه ⁦1⁩ و⁦3⁩ و⁦9⁩.
• ⁦1⁩ ليس أوليًا لأن له قاسمًا واحدًا فقط هو ⁦1⁩.
• ⁦0⁩ ليس أوليًا (له قواسم كثيرة).

ملاحظات:

• ⁦2⁩ هو العدد الأولي الزوجي الوحيد.
• الأعداد الأولية لا نهائية.

الأعداد الأولية الأصغر من 50

⁦2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37 ; 41 ; 43 ; 47⁩

وعددها خمسة عشر. وتفيد معرفتها في الاختبارات.

اختبار أولية عدد

المبرهنة: إذا كان العدد ⁦n⁩ غير أولي فله قاسم أولي ⁦p⁩ يحقق ⁦p² ≤ n⁩.

الطريقة: لاختبار أولية ⁦n⁩:

1. نجد الأعداد الأولية ⁦p⁩ التي مربعها أصغر من ⁦n⁩ أو يساويه.
2. نقسم ⁦n⁩ على كل منها.
3. إذا لم يقبل ⁦n⁩ القسمة على أي منها فهو أولي، وإلا فهو غير أولي.

مثال 1: هل ⁦97⁩ أولي؟

⁦10² = 100 > 97⁩ و⁦9² = 81 < 97⁩، فنختبر الأعداد الأولية الأصغر من ⁦10⁩: ⁦2⁩ و⁦3⁩ و⁦5⁩ و⁦7⁩.

• ⁦97⁩ فردي فلا يقبل القسمة على ⁦2⁩.
• مجموع أرقامه ⁦16⁩ ليس من مضاعفات ⁦3⁩.
• ينتهي بـ ⁦7⁩ فلا يقبل القسمة على ⁦5⁩.
• ⁦97 ÷ 7 = 13.86...⁩ ليس عددًا صحيحًا.

إذن ⁦97⁩ أولي.

مثال 2: هل ⁦91⁩ أولي؟ الأعداد الأولية المرشحة ⁦2⁩ و⁦3⁩ و⁦5⁩ و⁦7⁩. ⁦91 = 7 × 13⁩، فهو غير أولي.

التحليل إلى جداء عوامل أولية

كل عدد طبيعي أكبر من ⁦1⁩ يكتب بطريقة وحيدة كجداء أعداد أولية (مع إهمال الترتيب). وهذا هو التحليل إلى جداء عوامل أولية.

الطريقة: نقسم العدد على أصغر عدد أولي يقسمه، ثم نكرر على الحاصل، حتى نصل إلى ⁦1⁩.

مثال: تحليل ⁦84⁩:

• ⁦84 ÷ 2 = 42⁩
• ⁦42 ÷ 2 = 21⁩
• ⁦21 ÷ 3 = 7⁩
• ⁦7 ÷ 7 = 1⁩

إذن ⁦84 = 2 × 2 × 3 × 7 = 2² × 3 × 7⁩.

مثال آخر: ⁦360 = 2³ × 3² × 5⁩.

التطبيقات

1) إيجاد القاسم المشترك الأكبر

نحلل العددين، ونأخذ العوامل الأولية المشتركة بأصغر أس.

مثال: ⁦84 = 2² × 3 × 7⁩ و⁦36 = 2² × 3²⁩. العوامل المشتركة: ⁦2²⁩ و⁦3⁩. إذن ⁦PGCD(84 ; 36) = 2² × 3 = 12⁩.

2) اختزال كسر

⁦84 / 36 = (2² × 3 × 7) / (2² × 3²) = 7 / 3⁩ بالاختزال.

3) عدد قواسم عدد

إذا كان ⁦n = p^a × q^b⁩ فعدد قواسمه ⁦(a + 1)(b + 1)⁩. مثلًا ⁦84 = 2² × 3 × 7⁩ له ⁦3 × 2 × 2 = 12⁩ قاسمًا.

4) إيجاد المضاعف المشترك الأصغر

نأخذ كل العوامل الأولية (المشتركة وغير المشتركة) بأكبر أس.

أخطاء شائعة

• اعتبار ⁦1⁩ عددًا أوليًا.
• القول إن كل عدد فردي أولي: ⁦9⁩ و⁦15⁩ و⁦21⁩ فردية وغير أولية.
• نسيان ⁦2⁩ كعدد أولي.
• التوقف في التحليل عند عامل غير أولي.
• اختبار القسمة على كل الأعداد بدل الأولية الأصغر من الجذر.
• الخلط بين العدد الأولي والعددين الأوليين فيما بينهما.

تمارين للتدرب

1. هل ⁦51⁩ أولي؟ علل.
2. هل ⁦89⁩ أولي؟
3. حلل ⁦150⁩ إلى جداء عوامل أولية.
4. احسب ⁦PGCD(150 ; 84)⁩ بالتحليل.
5. اختزل ⁦150 / 84⁩.

الحلول:

1. لا، ⁦5 + 1 = 6⁩ يقبل القسمة على ⁦3⁩، و⁦51 = 3 × 17⁩.
2. نعم، لا يقبل القسمة على ⁦2⁩ و⁦3⁩ و⁦5⁩ و⁦7⁩.
3. ⁦150 = 2 × 3 × 5²⁩.
4. ⁦150 = 2 × 3 × 5²⁩ و⁦84 = 2² × 3 × 7⁩: المشترك ⁦2 × 3 = 6⁩.
5. ⁦150 / 84 = 25 / 14⁩.

الشرح المصوّر

لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يقدم الأستاذ سليم مختارة في فيديو «الدرس 05: التعرف على العدد الأولي والتحليل إلى جداء عوامل أولية، أولى ثانوي» هذا الدرس في نحو سبع عشرة دقيقة، مبينًا من هو العدد الأولي وكيف نجري اختبار الأعداد الأولية والتحليل إلى جداء عوامل أولية، ومذكرًا بالعددين الأوليين فيما بينهما من السنة الرابعة متوسط.

وللتدرب على الموضوع، اطلع على هذا الملف في الموقع:

• حلول جميع تمارين مجال الأعداد والحساب في الرياضيات أولى ثانوي علمي