الإحصاء للسنة الأولى ثانوي: التكرار والتواتر ومركز الفئة والفئة المنوالية والوسط الحسابي والوسيط والمدى

الإحصاء من أسهل دروس الرياضيات إذا عرفت القوانين وطبقتها بتنظيم، ومن أكثرها تعرضًا للخطأ إذا أهملت الجدول. وفي السنة الأولى ثانوي تعمل على سلاسل إحصائية مجمّعة في فئات، وتحسب مؤشراتها: ما هي الفئة المنوالية؟ وما الوسط الحسابي؟ وأين الوسيط؟ وكيف يكتمل الجدول بالتكرارات والتواتر والتكرار المجمع؟ تعرض هذه الصفحة المصطلحات والقوانين التي تحتاجها، ثم مثالًا تطبيقيًا كاملًا بالأرقام، ثم أخطاء متكررة وتمرينًا محلولًا.

المصطلحات الأساسية

• السلسلة الإحصائية: مجموعة القيم التي نحصل عليها، مثل علامات تلاميذ في اختبار.
• التكرار ⁦n⁩: عدد مرات ظهور قيمة أو عدد القيم في فئة.
• التكرار الكلي ⁦N⁩: مجموع التكرارات.
• الفئة: مجال من القيم، مثل ⁦[4 ; 7[⁩ أي من ⁦4⁩ (مغلق) إلى ⁦7⁩ (مفتوح).
• التواتر ⁦f⁩: نسبة التكرار إلى التكرار الكلي: ⁦f = n ÷ N⁩. ومجموع التواترات يساوي ⁦1⁩.
• التكرار المجمع الصاعد: مجموع التكرارات من أول فئة حتى الفئة المعنية.
• الفئة المنوالية: الفئة الأكثر تكرارًا.

القوانين المهمة

1. طول الفئة ⁦[a ; b[⁩: ⁦b − a⁩ (الحد الأكبر ناقص الأصغر).
2. مركز الفئة ⁦[a ; b[⁩: ⁦(a + b) ÷ 2⁩.
3. المدى: أكبر قيمة ناقص أصغر قيمة في السلسلة.
4. الوسط الحسابي ⁦x̄⁩: مجموع جداءات كل مركز في تكراره، مقسومًا على التكرار الكلي:

⁦x̄ = (n₁x₁ + n₂x₂ + ... + nₖxₖ) ÷ N⁩

حيث ⁦xᵢ⁩ هو مركز الفئة رقم ⁦i⁩ و⁦nᵢ⁩ تكرارها.

1. الوسيط: القيمة التي تقسم السلسلة المرتبة إلى نصفين متساويين في العدد. إذا كان ⁦N⁩ فرديًا فرتبته ⁦(N + 1) ÷ 2⁩. وإذا كان زوجيًا فهو منتصف القيمتين اللتين رتبتاهما ⁦N ÷ 2⁩ و⁦N ÷ 2 + 1⁩. وفي الفئات نحدد الفئة الوسيطية: أول فئة يتجاوز تكرارها المجمع الصاعد نصف التكرار الكلي.

مثال تطبيقي كامل

علامات ⁦31⁩ تلميذًا موزعة في خمس فئات:

1) التكرار الكلي: ⁦N = 4 + 7 + 10 + 8 + 2 = 31⁩.

2) الفئة المنوالية: هي الأكثر تكرارًا، أي ⁦[7 ; 10[⁩ لأن تكرارها ⁦10⁩.

3) طول كل فئة: ⁦4 − 0 = 4⁩، و⁦7 − 4 = 3⁩، و⁦10 − 7 = 3⁩، و⁦14 − 10 = 4⁩، و⁦20 − 14 = 6⁩.

4) مركز كل فئة: ⁦2⁩ و⁦5.5⁩ و⁦8.5⁩ و⁦12⁩ و⁦17⁩.

5) التواتر: ⁦4/31⁩ و⁦7/31⁩ و⁦10/31⁩ و⁦8/31⁩ و⁦2/31⁩، ومجموعها ⁦1⁩.

6) التكرار المجمع الصاعد: ⁦4⁩ ثم ⁦11⁩ ثم ⁦21⁩ ثم ⁦29⁩ ثم ⁦31⁩.

7) المدى: ⁦20 − 0 = 20⁩.

8) الوسط الحسابي:

⁦x̄ = (4×2 + 7×5.5 + 10×8.5 + 8×12 + 2×17) ÷ 31⁩

⁦x̄ = (8 + 38.5 + 85 + 96 + 34) ÷ 31 = 261.5 ÷ 31 ≈ 8.44⁩

9) الفئة الوسيطية: نصف التكرار الكلي ⁦15.5⁩. أول تكرار مجمع صاعد يتجاوزه هو ⁦21⁩، وهو للفئة ⁦[7 ; 10[⁩. إذن هي الفئة الوسيطية، وهي هنا نفسها الفئة المنوالية.

كيف تتجنب الأخطاء؟

• ارسم الجدول بعمود لكل مقدار تحتاجه (التكرار، المركز، الجداء، التواتر، المجمع)، ولا تحسب كل شيء ذهنيًا.
• تحقق دائمًا أن مجموع التواترات يساوي ⁦1⁩ وأن آخر تكرار مجمع يساوي ⁦N⁩.
• احسب الوسط الحسابي باستعمال مراكز الفئات لا حدودها.

أخطاء شائعة

• استعمال حد الفئة بدل مركزها عند حساب الوسط الحسابي.
• الخلط بين طول الفئة (الفرق بين حديها) ومركزها (نصف مجموع حديها).
• القول إن الفئة المنوالية هي التي لها أكبر مركز، وهي التي لها أكبر تكرار.
• حساب المدى على أنه الفرق بين تكراري أكبر وأصغر فئة، وهو الفرق بين أكبر قيمة وأصغر قيمة.
• نسيان القسمة على التكرار الكلي في الوسط الحسابي.

تمرين للتدرب

سلسلة إحصائية في ثلاث فئات: ⁦[0 ; 10[⁩ تكرارها ⁦5⁩، ⁦[10 ; 20[⁩ تكرارها ⁦10⁩، ⁦[20 ; 30[⁩ تكرارها ⁦5⁩.

1. احسب التكرار الكلي.
2. عيّن الفئة المنوالية.
3. احسب مركز كل فئة.
4. احسب الوسط الحسابي.
5. احسب المدى.

الحل:

1. ⁦N = 5 + 10 + 5 = 20⁩.
2. ⁦[10 ; 20[⁩ لأن تكرارها ⁦10⁩.
3. المراكز: ⁦5⁩ و⁦15⁩ و⁦25⁩.
4. ⁦x̄ = (5×5 + 10×15 + 5×25) ÷ 20 = (25 + 150 + 125) ÷ 20 = 300 ÷ 20 = 15⁩.
5. المدى ⁦30 − 0 = 30⁩.

الشرح المصوّر

لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يشرح الأستاذ مروان بن بليل في فيديو «درس الإحصاء مع تمارين تطبيقية وكل القوانين اللازمة» الدرس في نحو خمس وثلاثين دقيقة، ويعرض فيه القوانين ثم يطبقها على تمارين بجداول، فيحسب الفئة المنوالية وطول الفئة ومركزها والتواتر والتكرار المجمع والمدى والوسط الحسابي والفئة الوسيطية، وينبه إلى أن الدرس يقرأ في السنة الأولى ثانوي وفي السنة الرابعة متوسط.