النهايات أول درس في برنامج الرياضيات للسنة الثالثة ثانوي، وقد درستها في السنة الثانية، لكن البرنامج يضيف إليها تعديلات وتعميقًا. وهي الأساس الذي تقوم عليه بقية الوحدات: الاستمرارية والاشتقاق ودراسة الدوال وكل المسائل. والطريقة الأضمن أن تحفظ جدولًا واحدًا لقواعد العمليات، ثم تتدرب على الحالات التي لا يجيب فيها الجدول مباشرة. تعرض هذه الصفحة القواعد، ثم حالات عدم التعيين وطرق إزالتها، ثم مبرهنة الحصر والمستقيمات المقاربة، وتنتهي بأخطاء متكررة وتمارين محلولة.
القواعد الأساسية
حين تؤول دالة إلى +∞ أو −∞ أو عدد حقيقي، تتبع العمليات القواعد التالية:
- المجموع:
(+∞) + (+∞) = +∞و(−∞) + (−∞) = −∞، وعدد حقيقي مضاف إلى±∞يعطي±∞. - الجداء:
(+∞) × (+∞) = +∞و(+∞) × (−∞) = −∞و(−∞) × (−∞) = +∞. والجداء بعدد حقيقي غير معدوم يغيّر الإشارة إن كان سالبًا. - القسمة على ما لا نهاية:
l / (±∞) = 0من أجلlحقيقي. - القسمة على الصفر: إذا كان المقام يؤول إلى 0 مع إشارة ثابتة، فالنتيجة
±∞وإشارتها حسب إشارة البسط والمقام.
مثال: lim (x→+∞) (3x² + x) = +∞، لأن 3x² يؤول إلى +∞ و x يؤول إلى +∞، ومجموعهما +∞.
ولا تنس نهايات الدوال المألوفة: lim (x→+∞) √x = +∞، و lim (x→±∞) 1 / x = 0، و lim (x→0⁺) 1 / x = +∞، و lim (x→0⁻) 1 / x = −∞.
حالات عدم التعيين الأربع
حين لا تعطيك القواعد جوابًا مباشرًا نقول إن لدينا حالة عدم تعيين، ولا يعني ذلك أن النهاية غير موجودة، بل أن عليك أن تعدّل الكتابة. والحالات الأربع هي:
+∞ − ∞0 × ∞∞ / ∞0 / 0
وتنبه إلى أن ∞ − ∞ لا تساوي 0، وأن ∞ / ∞ لا تساوي 1. هذان خطآن شائعان جدًا.
طرق إزالة عدم التعيين
1. كثير الحدود والدالة الكسرية عند اللانهاية. نهاية كثير حدود عند ±∞ هي نهاية حده الأعلى درجة. ونهاية دالة كسرية عند ±∞ هي نهاية حاصل قسمة الحدين الأعلى درجة في البسط والمقام.
lim (x→+∞) (−2x³ + x² − 1) = lim (−2x³) = −∞.lim (x→+∞) (4x² + 3) / (2x² − x) = lim (4x²) / (2x²) = 2.
2. التحليل والاختزال في حالة 0 / 0. إذا انعدم البسط والمقام عند العدد نفسه فحلل واختزل العامل المشترك.
lim (x→2) (x² − 4) / (x − 2) = lim (x + 2) = 4.
3. المرافق في حالة +∞ − ∞ مع الجذور. نضرب ونقسم على المرافق.
lim (x→+∞) (√(x² + x) − x): نكتب(x² + x − x²) / (√(x² + x) + x) = x / (√(x² + x) + x). نخرجxعاملًا مشتركًا في المقام فنجد1 / (√(1 + 1/x) + 1)، وتؤول إلى1 / 2.
4. العدد المشتق. قد تكون نهاية من النوع 0 / 0 هي عددًا مشتقًا معروفًا، مثل lim (x→0) (sin x) / x = 1 و lim (x→0) (e^x − 1) / x = 1.
نهاية دالة مركبة
إذا كانت g(x) تؤول إلى b عندما يؤول x إلى a، وكانت f(y) تؤول إلى l عندما يؤول y إلى b، فإن f(g(x)) تؤول إلى l. مثال: lim (x→+∞) √(x² + 1) = +∞، لأن ما داخل الجذر يؤول إلى +∞.
مبرهنة الحصر
إذا كان g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) بجوار نقطة، وكانت g و h تؤولان إلى النهاية نفسها l، فإن f تؤول إلى l أيضًا.
مثال: من أجل x > 0 لدينا −1 ≤ sin x ≤ 1 ومنه −1 / x ≤ (sin x) / x ≤ 1 / x. وطرفا المتباينة يؤولان إلى 0 عندما يؤول x إلى +∞، فـ lim (x→+∞) (sin x) / x = 0.
المستقيمات المقاربة
- إذا كان
lim (x→±∞) f(x) = lفالمستقيمy = lمقارب أفقي لمنحنىf. - إذا كان
lim (x→a) f(x) = ±∞(من جهة أو من جهتين) فالمستقيمx = aمقارب شاقولي. - إذا كان
lim (x→±∞) (f(x) − (a x + b)) = 0فالمستقيمy = a x + bمقارب مائل.
مثال: الدالة f(x) = (x² + 1) / x = x + 1 / x. الفرق f(x) − x = 1 / x يؤول إلى 0 عند ±∞، فالمستقيم y = x مقارب مائل. وعند 0 تؤول f إلى +∞ من اليمين و −∞ من اليسار، فالمستقيم x = 0 مقارب شاقولي.
أخطاء شائعة
- القول إن
∞ − ∞ = 0أو إن∞ / ∞ = 1. هاتان حالتا عدم تعيين وليستا نتيجتين. - نسيان تحديد جهة النهاية عند 0 أو عند عدد تتغير عنده إشارة المقام.
lim (x→1⁺) 1 / (x − 1)تختلف عنlim (x→1⁻) 1 / (x − 1). - تطبيق قاعدة الحد الأعلى درجة على مجموع فيه جذور أو دوال أخرى دون التأكد من صلاحيتها.
- إجراء الاختزال قبل التحقق من أن العامل لا ينعدم عند العدد المدروس.
- نسيان المرافق في حالات الجذور، فتبقى حالة عدم التعيين بلا حل.
- الخلط بين المقارب الأفقي والمائل: الأفقي له نهاية عددية عند اللانهاية، والمائل يظهر حين تنمو الدالة مثل دالة تآلفية.
تمارين للتدرب
- احسب
lim (x→+∞) (−2x³ + x² − 1). - احسب
lim (x→+∞) (4x² + 3) / (2x² − x). - احسب
lim (x→3) (x² − 9) / (x − 3). - احسب
lim (x→1⁺) 1 / (x − 1)وlim (x→1⁻) 1 / (x − 1). - احسب
lim (x→+∞) (√(x² + x) − x).
الحلول:
- نهاية الحد الأعلى درجة:
lim (−2x³) = −∞. lim (4x²) / (2x²) = 2.(x² − 9) / (x − 3) = x + 3، والنهاية 6.- عندما يؤول
xإلى 1 من اليمين،x − 1يؤول إلى 0 بقيم موجبة فالنهاية+∞. ومن اليسار بقيم سالبة فالنهاية−∞. - بالمرافق:
x / (√(x² + x) + x) = 1 / (√(1 + 1/x) + 1)، والنهاية1 / 2.
الشرح المصوّر وملفات التمارين
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يبدأ الأستاذ محمد في فيديو «الدرس الأول: النهايات» سلسلة دروس الرياضيات للسنة الثالثة ثانوي بالنهايات، في نحو خمس وعشرين دقيقة، مركزًا على جدول القواعد الذي يكفي لحساب النهايات إذا حُفظ، ثم يطبقه بأمثلة.
وللتطبيق على مواضيع حقيقية، اطلع على هذه الملفات في الموقع: