الاستمرارية أول درس جديد تمامًا في وحدة الدوال العددية في السنة الثالثة ثانوي، فلا مكتسبات له من السنة الثانية، بخلاف النهايات والاشتقاقية. لكنه من أبسط دروس المقرر إذا بدأت من الفكرة الصحيحة: دالة مستمرة هي دالة يمكن رسم منحناها دون رفع القلم. وتأتي أهميته في أنه يسمح بالإجابة عن سؤال متكرر في كل موضوع بكالوريا: «بيّن أن المعادلة f(x) = 0 تقبل حلًا وحيدًا في المجال كذا». تعرض هذه الصفحة تمهيدًا بيانيًا بدالتين، ثم التعريف، ثم الدوال المستمرة المألوفة، ثم العلاقة مع الاشتقاقية، ثم نظرية القيم المتوسطة، ثم تطبيقًا كاملًا، وتنتهي بأخطاء متكررة وتمارين.
تمهيد: دالتان وفكرة الاستمرارية
نعتبر الدالتين f وg المعرفتين على ℝ:
f(x) = xإذا كانx ≤ 0، وf(x) = x²إذا كانx ≥ 0.g(x) = −x + 1إذا كانx ≤ 0، وg(x) = x²إذا كانx > 0.
المنحنى f: على ]−∞ ; 0] مستقيم يمر بالمبدأ، وعلى [0 ; +∞[ قطع مكافئ يبدأ من المبدأ أيضًا. فالفرعان يلتقيان في النقطة (0 ; 0)، ويمكن رسم المنحنى كله دون رفع القلم.
المنحنى g: على ]−∞ ; 0] مستقيم يمر بالنقطة (0 ; 1)، أما على ]0 ; +∞[ فهو قطع مكافئ يقترب من (0 ; 0) دون أن يبلغه. فبين الفرعين قفزة عند 0، ولا يمكن رسمه دون رفع القلم.
نقول إن f مستمرة عند 0 وإن g غير مستمرة عند 0.
تعريف الاستمرارية
في نقطة: تكون الدالة f مستمرة عند a إذا كان a ينتمي إلى مجموعة تعريفها و:
lim f(x) = f(a) عندما x يؤول إلى a.
أي أن النهاية موجودة وتساوي قيمة الدالة. وبالنسبة لدالة معرفة بعبارتين عند نقطة التقاء a، نتحقق من تساوي النهاية من اليمين والنهاية من اليسار وقيمة الدالة عند a:
- الدالة
fأعلاه: النهاية من اليسار0، ومن اليمين0، وf(0) = 0. إذن مستمرة. - الدالة
g: النهاية من اليسار1، ومن اليمين0، وg(0) = 1. النهايتان مختلفتان فهي غير مستمرة.
على مجال: تكون مستمرة على المجال I إذا كانت مستمرة عند كل نقطة منه، أي يمكن رسم منحناها بين طرفيه دون رفع القلم.
الدوال المألوفة المستمرة
الدوال التالية مستمرة على مجموعة تعريفها (أو على كل مجال منها):
- كثيرات الحدود.
- الدوال الناطقة (الكسور) على مجالات تعريفها.
- دالة الجذر التربيعي على
[0 ; +∞[. - دالة القيمة المطلقة.
- الدالتان الأسية واللوغاريتمية.
- الدالتان الجيبية وتمام الجيب.
ونتائجها أيضًا: مجموع دالتين مستمرتين وجداؤهما وحاصل قسمتهما (حيث المقام غير معدوم) وتركيبهما كلها دوال مستمرة.
الاشتقاقية والاستمرارية
كل دالة قابلة للاشتقاق عند a فهي مستمرة عند a. والعكس غير صحيح: مثال الدالة x ↦ |x| مستمرة عند 0 لكنها غير قابلة للاشتقاق عندها (للمنحنى زاوية).
نظرية القيم المتوسطة
النص: إذا كانت f مستمرة على المجال [a ; b]، فمن أجل كل عدد k محصور بين f(a) وf(b) يوجد على الأقل عدد c من [a ; b] بحيث f(c) = k.
حالة خاصة مهمة: إذا كانت f مستمرة على [a ; b] وكان f(a) × f(b) < 0 (قيمتاها مختلفتا الإشارة) فإن المعادلة f(x) = 0 تقبل حلًا واحدًا على الأقل في ]a ; b[.
الحل الوحيد: إذا كانت f مستمرة ورتيبة تمامًا على [a ; b]، فمن أجل كل k بين f(a) وf(b) للمعادلة f(x) = k حل وحيد.
مثال كامل: إثبات وجود حل وحيد وحصره
نعتبر الدالة f(x) = x³ + x − 1 على ℝ.
1) الاستمرارية: f كثيرة حدود فهي مستمرة على ℝ.
2) الرتابة: f'(x) = 3x² + 1 > 0 من أجل كل x، فـ f متزايدة تمامًا على ℝ.
3) تغير الإشارة: f(0) = −1 وf(1) = 1، ومنه f(0) × f(1) < 0.
4) الاستنتاج: f مستمرة ومتزايدة تمامًا على [0 ; 1] وf(0) × f(1) < 0، فحسب نظرية القيم المتوسطة المعادلة f(x) = 0 تقبل حلًا وحيدًا α في ]0 ; 1[.
5) الحصر: نستعمل الحاسبة بتجريب قيم:
f(0.6) = −0.184 < 0وf(0.7) = 0.043 > 0، فإذن0.6 < α < 0.7.f(0.68) ≈ −0.0056 < 0وf(0.69) ≈ 0.0185 > 0، فإذن0.68 < α < 0.69.
أخطاء شائعة
- القول إن الدالة مستمرة لأنها معرفة، فيجب التحقق من تساوي النهاية مع القيمة.
- تطبيق نظرية القيم المتوسطة دون ذكر شرط الاستمرارية.
- تطبيقها للحصول على حل وحيد دون ذكر الرتابة التامة.
- القول إن الدالة القابلة للاشتقاق ليست مستمرة، والصواب العكس: الاشتقاقية تستلزم الاستمرارية.
- نسيان حساب النهايتين من اليمين ومن اليسار عند نقطة التحول في دالة بعبارتين.
- كتابة الحصر دون التحقق من تغير الإشارة بالحاسبة.
تمارين للتدرب
- هل الدالة
h(x) = x + 2إذا كانx < 1، وh(x) = 4 − xإذا كانx ≥ 1مستمرة عند1؟ - بيّن أن المعادلة
x³ + x − 3 = 0تقبل حلًا وحيدًا في]1 ; 2[. - هل الدالة المستمرة تكون دائمًا قابلة للاشتقاق؟ علّل.
الحلول:
- النهاية من اليسار
1 + 2 = 3، ومن اليمين4 − 1 = 3، وh(1) = 3. إذن مستمرة عند1. - نضع
φ(x) = x³ + x − 3:φ(1) = −1وφ(2) = 7، وφمستمرة ومتزايدة تمامًا لأنφ'(x) = 3x² + 1 > 0، فللمعادلة حل وحيد في]1 ; 2[. - لا، مثال
|x|عند0.
الشرح المصوّر
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يشرح الأستاذ عبد الباسط في فيديو «درس الاستمرارية في وقت قياسي وبشرح استثنائي، الدوال العددية 13، باكلوريا 2026» الدرس في نحو خمس وعشرين دقيقة لجميع الشعب العلمية، موضحًا أنه درس جديد في السنة الثالثة ثانوي، ويبدأ بتمهيد يرسم فيه دالتين لتكوين تصور حقيقي عن مفهوم الاستمرارية قبل التعريف.
وللتوسع، اطلع على هذا الملف في الموقع: