الاشتقاقية والاستمرارية: قابلية الاشتقاق والمماس والاستمرارية ومبرهنة القيم المتوسطة ومشتق دالة مركبة - السنة الثالثة ثانوي

لا تبدأ السنة الثالثة ثانوي من فراغ. فبرنامج الرياضيات منظم بتدرج وساعات محددة، وأول درس فيه هو الاشتقاقية والاستمرارية، وهو مراجعة لأهم ما درسه التلميذ في السنة الثانية مع توسيع لأفكار جديدة تتكرر في اختبار البكالوريا كل عام. فالتلميذ يعرف الاشتقاق وتفسيره الهندسي بالمماس، لكن البكالوريا تطلب منه الآن أن يربطه بالاستمرارية، وأن يستعمل مبرهنة القيم المتوسطة ليبرهن على وجود حل لمعادلة وحيد. تعرض هذه الصفحة قابلية الاشتقاق والمماس، ثم الاستمرارية، ثم العلاقة بينهما، ثم مبرهنة القيم المتوسطة، ثم اشتقاق الدالة المركبة، وتنتهي بأخطاء شائعة وتمارين محلولة.

أولًا: قابلية الاشتقاق

عند نقطة

لتكن ⁦f⁩ دالة معرفة على مجال مفتوح يحوي ⁦a⁩. نقول إن ⁦f⁩ قابلة للاشتقاق عند ⁦a⁩ إذا كانت النهاية التالية موجودة وعددًا حقيقيًا:

⁦lim_(h→0) (f(a + h) - f(a)) / h⁩

ونسميها العدد المشتق لـ ⁦f⁩ عند ⁦a⁩ ونرمز له بـ ⁦f'(a)⁩. ويمكن كتابتها أيضًا:

⁦f'(a) = lim_(x→a) (f(x) - f(a)) / (x - a)⁩

التفسير الهندسي: المماس

إذا كانت ⁦f⁩ قابلة للاشتقاق عند ⁦a⁩ فإن منحناها يقبل عند النقطة ⁦A(a ; f(a))⁩ مماسًا معامل توجيهه ⁦f'(a)⁩، ومعادلته:

⁦y = f'(a) (x - a) + f(a)⁩

مثال: ⁦f(x) = x²⁩ عند ⁦a = 1⁩: ⁦f'(1) = 2⁩ و ⁦f(1) = 1⁩، فمعادلة المماس ⁦y = 2(x - 1) + 1⁩ أي ⁦y = 2x - 1⁩.

حالات عدم قابلية الاشتقاق

• نقطة زاوية: الدالة ⁦f(x) = |x|⁩ عند ⁦0⁩ لها مشتق على اليمين يساوي ⁦1⁩ وعلى اليسار ⁦-1⁩، ومختلفان، فهي غير قابلة للاشتقاق عند ⁦0⁩، ويقبل منحناها نصفي مماسين.
• مماس شاقولي: الدالة ⁦f(x) = √x⁩ عند ⁦0⁩: النهاية ⁦lim_(x→0) √x / x⁩ تؤول إلى ما لا نهاية، فغير قابلة للاشتقاق عند ⁦0⁩، ومنحناها يقبل مماسًا شاقوليًا.

ثانيًا: الاستمرارية

عند نقطة

نقول إن ⁦f⁩ مستمرة عند ⁦a⁩ إذا تحققت الشروط الثلاثة: ⁦f⁩ معرفة عند ⁦a⁩، ولها نهاية عند ⁦a⁩، وهذه النهاية تساوي ⁦f(a)⁩:

⁦lim_(x→a) f(x) = f(a)⁩

وتكون ⁦f⁩ مستمرة على مجال إذا كانت مستمرة عند كل نقطة منه.

الدوال المألوفة

• كثيرات الحدود مستمرة على ⁦R⁩.
• الدالة الكسرية مستمرة على كل مجال داخل مجموعة تعريفها.
• دالة الجذر التربيعي مستمرة على ⁦[0 ; +∞[⁩.
• دالتا الجيب وتمام الجيب مستمرتان على ⁦R⁩.
• مجموع دالتين مستمرتين وجداؤهما وحاصل قسمتهما (حيث المقام غير معدوم) وتركيبهما دوال مستمرة.

ثالثًا: العلاقة بين الاشتقاقية والاستمرارية

المبرهنة: كل دالة قابلة للاشتقاق عند ⁦a⁩ فهي مستمرة عند ⁦a⁩.

العكس خاطئ: الدالة ⁦|x|⁩ مستمرة عند ⁦0⁩ لكنها غير قابلة للاشتقاق عنده. وهذا السؤال يتكرر في الاختبارات: مستمرة ثم هل قابلة للاشتقاق؟ والجواب يتضمن دراسة النهايتين اليمنى واليسرى لمعدل التغير.

رابعًا: مبرهنة القيم المتوسطة

المبرهنة: إذا كانت ⁦f⁩ دالة مستمرة على مجال ⁦[a ; b]⁩ وكان ⁦k⁩ عددًا محصورًا بين ⁦f(a)⁩ و ⁦f(b)⁩، فإن المعادلة ⁦f(x) = k⁩ تقبل حلًا واحدًا على الأقل في ⁦[a ; b]⁩.

حالة خاصة مهمة

إذا كانت ⁦f⁩ مستمرة ورتيبة تمامًا على ⁦[a ; b]⁩ وكان ⁦k⁩ محصورًا بين ⁦f(a)⁩ و ⁦f(b)⁩، فإن المعادلة ⁦f(x) = k⁩ تقبل حلًا وحيدًا في ⁦[a ; b]⁩.

وإذا كان ⁦f(a) · f(b) < 0⁩ أي للقيمتين إشارتان مختلفتان، فإن المعادلة ⁦f(x) = 0⁩ تقبل حلًا وحيدًا ⁦α⁩ في ⁦]a ; b[⁩.

مثال محلول

بين أن المعادلة ⁦x³ + x - 1 = 0⁩ تقبل حلًا وحيدًا ⁦α⁩ في ⁦[0 ; 1]⁩، ثم أوجد حصرًا له.

الحل:

1. نضع ⁦f(x) = x³ + x - 1⁩. ⁦f⁩ كثير حدود إذن مستمرة على ⁦R⁩ وعلى ⁦[0 ; 1]⁩.
2. ⁦f'(x) = 3x² + 1⁩ وهو موجب تمامًا، إذن ⁦f⁩ متزايدة تمامًا على ⁦[0 ; 1]⁩.
3. ⁦f(0) = -1⁩ و ⁦f(1) = 1⁩، ومنه ⁦f(0) · f(1) < 0⁩.
4. حسب مبرهنة القيم المتوسطة (الحالة الرتيبة) توجد قيمة وحيدة ⁦α⁩ من ⁦]0 ; 1[⁩ تحقق ⁦f(α) = 0⁩.
5. للحصر: ⁦f(0.5) = 0.125 + 0.5 - 1 = -0.375⁩ سالب، إذن ⁦α⁩ أكبر من ⁦0.5⁩. و ⁦f(0.75) = 0.421875 + 0.75 - 1 = 0.171875⁩ موجب، إذن ⁦α⁩ أصغر من ⁦0.75⁩. فيكون ⁦0.5 < α < 0.75⁩.

وهذه الطريقة تسمى التنصيف (التقسيم إلى نصفين متتالين).

خامسًا: اشتقاق الدوال المركبة

إذا كانت ⁦u⁩ قابلة للاشتقاق على مجال ⁦I⁩ وكانت ⁦g⁩ قابلة للاشتقاق على مجال يحوي ⁦u(I)⁩، فإن ⁦g∘u⁩ قابلة للاشتقاق على ⁦I⁩ ومشتقها:

⁦(g∘u)'(x) = u'(x) · g'(u(x))⁩

ومن أهم الحالات:

مثال: ⁦f(x) = (2x + 1)⁴⁩. هنا ⁦u = 2x + 1⁩ و ⁦u' = 2⁩، فـ ⁦f'(x) = 4 · 2 · (2x + 1)³ = 8(2x + 1)³⁩.

مثال: ⁦g(x) = √(x² + 1)⁩. هنا ⁦u = x² + 1⁩ و ⁦u' = 2x⁩، فـ ⁦g'(x) = 2x / (2√(x² + 1)) = x / √(x² + 1)⁩.

أخطاء شائعة

• القول إن الدالة المستمرة قابلة للاشتقاق دائمًا. العكس هو الصحيح.
• تطبيق مبرهنة القيم المتوسطة دون التأكد من الاستمرارية.
• استنتاج الحل الوحيد دون إثبات أن الدالة رتيبة تمامًا.
• نسيان الضرب في ⁦u'⁩ عند اشتقاق دالة مركبة.
• الخلط بين المماس ومعادلته: ينقصنا ⁦f(a)⁩ أو ⁦f'(a)⁩.
• ترك الإجابة دون كتابة المجال الذي تطبق عليه المبرهنة.

تمارين للتدرب

1. أوجد معادلة المماس لمنحنى ⁦f(x) = x² + 3x⁩ عند النقطة ذات الفاصلة ⁦1⁩.
2. هل الدالة ⁦f(x) = |x - 2|⁩ قابلة للاشتقاق عند ⁦2⁩؟ علل.
3. بين أن المعادلة ⁦x³ - 3x + 1 = 0⁩ تقبل حلًا في ⁦[0 ; 1]⁩.
4. احسب مشتق ⁦h(x) = (x² - 1)³⁩.

الحلول:

1. ⁦f(1) = 4⁩، ⁦f'(x) = 2x + 3⁩ فـ ⁦f'(1) = 5⁩. المماس: ⁦y = 5(x - 1) + 4 = 5x - 1⁩.
2. لا، لأن المشتق على اليمين ⁦1⁩ وعلى اليسار ⁦-1⁩ مختلفان.
3. ⁦f(x) = x³ - 3x + 1⁩ مستمرة، ⁦f(0) = 1⁩ و ⁦f(1) = -1⁩، وحاصل ضربهما سالب، فالمعادلة تقبل حلًا في ⁦]0 ; 1[⁩ (ووحدانيته تحتاج إثبات أن ⁦f⁩ رتيبة تمامًا على المجال، وهو صحيح هنا لأن ⁦f'(x) = 3x² - 3⁩ سالب تمامًا على ⁦]0 ; 1[⁩).
4. ⁦h'(x) = 3 · 2x · (x² - 1)² = 6x(x² - 1)²⁩.

الشرح المصوّر

لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يقدم الأستاذ بوسيف في فيديو «السنة 3 ثانوي: الاشتقاقية والاستمرارية، الدرس الأول» هذا الدرس في نحو إحدى وثلاثين دقيقة، ويبدأ بتمهيد عن تدرج برنامج السنة الثالثة ثانوي، ثم يذكر التلميذ بقابلية الاشتقاق وتفسيرها الهندسي بالمماس، لأنه تعمق فيها في السنة الثانية.