المتتالية الهندسية: التعريف والحد العام والمجموع واتجاه التغير والنهاية مع تمرين من البكالوريا - السنة الثالثة ثانوي علمي

إذا ضاعف نبات خلاياه كل يوم، أو استثمرت مبلغًا بفائدة مركبة، أو قذفت كرة فكانت كل ارتدادة نسبة من سابقتها، فأنت أمام متتالية هندسية: كل حد فيها يساوي الحد السابق مضروبًا في عدد ثابت. وهي من أهم دروس وحدة المتتاليات العددية في البكالوريا لجميع الشعب العلمية: العلوم التجريبية والتقني رياضي والرياضيات، ويضيف إليها بعضهم شعبة التسيير والاقتصاد. وفهمها يسهل بقية الوحدة، فالمتتالية الحسابية والمتتالية الهندسية هما الركيزتان الأساسيتان، ثم يأتي تمرين البكالوريا الذي يطلب إثبات أن متتالية هندسية انطلاقًا من متتالية عادية. تعرض هذه الصفحة التعريف، ثم الحد العام، ثم الخواص، ثم المجموع، ثم اتجاه التغير والنهاية، ثم تمرينًا من البكالوريا، وتنتهي بأخطاء شائعة وتمارين.

التعريف

نقول إن المتتالية ⁦(u_n)⁩ هندسية إذا وجد عدد حقيقي ⁦q⁩ بحيث لكل عدد طبيعي ⁦n⁩:

⁦u_(n+1) = q · u_n⁩

والعدد ⁦q⁩ يسمى أساس المتتالية. ويعني أن النسبة بين أي حد والحد السابق له ثابتة: ⁦u_(n+1) / u_n = q⁩.

مثال: المتتالية ⁦2 ; 6 ; 18 ; 54 ; ...⁩ هندسية أساسها ⁦3⁩.

الحد العام

إذا كانت ⁦(u_n)⁩ هندسية أساسها ⁦q⁩ وحدها الأول ⁦u_0⁩، فإن:

⁦u_n = u_0 · q^n⁩

وبصفة عامة، لكل عددين طبيعيين ⁦n⁩ و ⁦p⁩:

⁦u_n = u_p · q^(n - p)⁩

مثال: ⁦u_0 = 2⁩ و ⁦q = 3⁩، فإن ⁦u_5 = 2 · 3⁵ = 2 · 243 = 486⁩.

خاصية ثلاثة حدود متتابعة

ثلاثة أعداد غير معدومة ⁦a⁩ و ⁦b⁩ و ⁦c⁩ تشكل بهذا الترتيب حدودًا متتابعة لمتتالية هندسية إذا وفقط إذا:

⁦b² = a · c⁩

وهذه الخاصية تسمح بإيجاد حد مفقود.

مثال: إذا كانت ⁦3 ; x ; 27⁩ حدودًا متتابعة هندسية فإن ⁦x² = 3 · 27 = 81⁩ أي ⁦x = 9⁩ أو ⁦x = -9⁩.

مجموع حدود متتابعة

إذا كانت ⁦(u_n)⁩ هندسية أساسها ⁦q⁩ يختلف عن ⁦1⁩، فإن مجموع حدودها المتتابعة من ⁦u_p⁩ إلى ⁦u_n⁩ هو:

⁦S = u_p + u_(p+1) + ... + u_n = u_p · (1 - q^(n - p + 1)) / (1 - q)⁩

أي: الحد الأول في المجموع مضروبًا في (واحد ناقص ⁦q⁩ مرفوعًا إلى عدد الحدود)، مقسومًا على (واحد ناقص ⁦q⁩).

وإذا كان ⁦q = 1⁩ فالمتتالية ثابتة ومجموع ⁦k⁩ حدًا يساوي ⁦k · u_0⁩.

مثال: مجموع الحدود الستة الأولى (من ⁦u_0⁩ إلى ⁦u_5⁩) في المثال السابق:

⁦S = 2 · (1 - 3⁶) / (1 - 3) = 2 · (1 - 729) / (-2) = 728⁩.

اتجاه التغير

يتوقف اتجاه تغير المتتالية الهندسية على إشارة ⁦u_0⁩ وقيمة ⁦q⁩:

النهاية

تعتمد نهاية ⁦(q^n)⁩ عندما يؤول ⁦n⁩ إلى ما لا نهاية على قيمة ⁦q⁩:

• إذا كان ⁦q⁩ أكبر من ⁦1⁩: ⁦q^n⁩ تؤول إلى ⁦+∞⁩.
• إذا كان ⁦q⁩ محصورًا تمامًا بين ⁦-1⁩ و ⁦1⁩: ⁦q^n⁩ تؤول إلى ⁦0⁩.
• إذا كان ⁦q = 1⁩: ⁦q^n = 1⁩ فالنهاية ⁦1⁩.
• إذا كان ⁦q⁩ أصغر من أو يساوي ⁦-1⁩: لا نهاية.

ومن ثم يكون لمتتالية هندسية أساسها ⁦q⁩ محصور تمامًا بين ⁦-1⁩ و ⁦1⁩ نهاية ⁦0⁩، فنقول إنها متقاربة.

تمرين من البكالوريا

نعتبر المتتالية ⁦(u_n)⁩ المعرفة بـ ⁦u_0 = 1⁩ ولكل ⁦n⁩: ⁦u_(n+1) = (1 / 2) u_n + 1⁩.

1. نضع ⁦v_n = u_n - 2⁩. بين أن ⁦(v_n)⁩ هندسية يطلب تعيين أساسها وحدها الأول.

⁦v_(n+1) = u_(n+1) - 2 = (1 / 2) u_n + 1 - 2 = (1 / 2) u_n - 1 = (1 / 2)(u_n - 2) = (1 / 2) v_n⁩.

إذن ⁦(v_n)⁩ هندسية أساسها ⁦q = 1 / 2⁩ وحدها الأول ⁦v_0 = u_0 - 2 = -1⁩.

2. اكتب ⁦v_n⁩ ثم ⁦u_n⁩ بدلالة ⁦n⁩.

⁦v_n = -1 · (1 / 2)^n = -(1 / 2)^n⁩، ومنه ⁦u_n = 2 + v_n = 2 - (1 / 2)^n⁩.

3. احسب نهاية ⁦(u_n)⁩.

بما أن ⁦0 < 1 / 2 < 1⁩ فإن ⁦(1 / 2)^n⁩ تؤول إلى ⁦0⁩، إذن ⁦u_n⁩ تؤول إلى ⁦2⁩.

4. احسب ⁦S_n = v_0 + v_1 + ... + v_n⁩.

⁦S_n = v_0 · (1 - q^(n+1)) / (1 - q) = -1 · (1 - (1 / 2)^(n+1)) / (1 / 2) = -2 (1 - (1 / 2)^(n+1))⁩.

أخطاء شائعة

• القول إن ⁦u_(n+1) - u_n⁩ ثابت (تلك المتتالية الحسابية).
• نسيان أن ⁦q⁩ لا يساوي الصفر ولا يساوي الواحد في صيغة المجموع.
• عد عدد الحدود في المجموع خطأ، والصحيح ⁦n - p + 1⁩.
• الخلط بين الحد الأول للمتتالية والحد الأول في المجموع.
• كتابة ⁦q^n⁩ بدل ⁦q^(n-p)⁩ عندما تكون البداية من ⁦u_p⁩.
• استعمال صيغة المجموع قبل إثبات أن المتتالية هندسية.

تمارين للتدرب

1. متتالية هندسية فيها ⁦u_0 = 5⁩ و ⁦q = 2⁩. احسب ⁦u_4⁩.
2. أوجد مجموع الحدود الخمسة الأولى منها.
3. هل المتتالية ⁦4 ; 12 ; 36 ; 108⁩ هندسية؟ وما أساسها؟

الحلول:

1. ⁦u_4 = 5 · 2⁴ = 80⁩.
2. ⁦S = 5 · (1 - 2⁵) / (1 - 2) = 5 · 31 = 155⁩.
3. نعم، النسبة بين كل حد وسابقه ⁦3⁩، فالأساس ⁦3⁩.

الشرح المصوّر

لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يقدم الأستاذ عبد الباسط في فيديو «المتتالية الهندسية مع تمرين بكالوريا، المتتاليات الدرس 05» هذا الدرس في نحو اثنتين وأربعين دقيقة، وهو الفيديو الخامس في وحدة المتتاليات، ويشرح القواعد والمبرهنات والخواص ثم يطبقها على تمرين من بكالوريا شعبة الرياضيات 2011.