تدخر مبلغًا في صندوق كل شهر وتزيد فيه نفس المقدار، أو تنزل درجات سلم كل درجة منها أخفض من سابقتها بالارتفاع نفسه، أو تعد أيامًا متتابعة: كل هذه أمثلة على المتتالية الحسابية، حيث ننتقل من حد إلى الذي يليه بإضافة عدد ثابت. وهي أول متتالية خاصة يدرسها التلميذ في وحدة المتتاليات العددية في السنة الثالثة ثانوي، وقد قال الأستاذ عبد الباسط إن المتتاليتين الحسابية والهندسية هما الركيزتان الأساسيتان في الوحدة، فإذا فهمت الحسابية سهلت عليك الهندسية في تمارين البكالوريا. تعرض هذه الصفحة التعريف، ثم الحد العام، ثم الخواص، ثم المجموع، ثم اتجاه التغير، ثم تمرينًا من البكالوريا، وتنتهي بأخطاء شائعة وتمارين.
التعريف
نقول إن المتتالية (u_n) حسابية إذا وجد عدد حقيقي r بحيث لكل عدد طبيعي n:
u_(n+1) = u_n + r
والعدد r يسمى أساس المتتالية. ويعني أن الفرق بين أي حد والحد السابق ثابت: u_(n+1) - u_n = r.
مثال: المتتالية 3 ; 7 ; 11 ; 15 ; ... حسابية أساسها 4.
وللبرهان على أن متتالية حسابية نحسب الفرق u_(n+1) - u_n ونبين أنه عدد ثابت لا يتعلق بـ n.
الحد العام
إذا كانت (u_n) حسابية أساسها r وحدها الأول u_0، فإن:
u_n = u_0 + n r
وبصفة عامة، لكل عددين طبيعيين n و p:
u_n = u_p + (n - p) r
مثال: u_0 = 3 و r = 4، فإن u_10 = 3 + 10 × 4 = 43.
خاصية ثلاثة حدود متتابعة
ثلاثة أعداد a و b و c تشكل بهذا الترتيب حدودًا متتابعة لمتتالية حسابية إذا وفقط إذا كان b هو المتوسط الحسابي لـ a و c:
2b = a + c
مثال: إذا كانت 5 ; x ; 17 حسابية فإن 2x = 22 أي x = 11.
مجموع حدود متتابعة
مجموع k حدًا متتابعًا من متتالية حسابية يساوي:
S = k × (u_p + u_n) / 2
أي عدد الحدود k مضروبًا في نصف مجموع الحد الأول u_p والحد الأخير u_n.
وعدد الحدود من u_p إلى u_n هو n - p + 1.
مثال: مجموع الحدود الأحد عشر الأولى (من u_0 إلى u_10) في المثال السابق:
S = 11 × (3 + 43) / 2 = 11 × 23 = 253.
حالة خاصة مشهورة: 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1) / 2، وهي مجموع حدود متتالية حسابية أساسها 1.
اتجاه التغير
إشارة الأساس r تحدد اتجاه تغير المتتالية الحسابية:
- إذا كان
rأكبر من0فالمتتالية متزايدة تمامًا. - إذا كان
rأصغر من0فالمتتالية متناقصة تمامًا. - إذا كان
r = 0فالمتتالية ثابتة.
وتتعلق نهايتها بـ r كذلك: إذا كان r موجبًا فهي تؤول إلى +∞، وإذا كان سالبًا فتؤول إلى -∞، وإذا كان معدومًا فهي ثابتة.
مثال: u_n = 5 - 2n متتالية حسابية لأن u_(n+1) - u_n = -2 ثابت، أساسها -2، متناقصة تمامًا.
تمرين من البكالوريا
المتتالية (u_n) معرفة بـ u_0 = 2 ولكل n: u_(n+1) = u_n + 3.
1. بين أن (u_n) حسابية.
u_(n+1) - u_n = 3 ثابت، إذن حسابية أساسها r = 3 وحدها الأول u_0 = 2.
2. اكتب u_n بدلالة n.
u_n = 2 + 3n.
3. احسب u_20.
u_20 = 2 + 60 = 62.
4. احسب S = u_0 + u_1 + ... + u_20.
عدد الحدود 21. S = 21 × (2 + 62) / 2 = 21 × 32 = 672.
5. هل العدد 101 حد من حدود المتتالية؟
نحل 2 + 3n = 101 فـ n = 33، وهو عدد طبيعي، إذن 101 = u_33.
6. هل العدد 100 حد؟
2 + 3n = 100 فـ n = 98 / 3، وهو ليس عددًا طبيعيًا، إذن 100 ليس حدًا.
ربط المتتالية الحسابية بالهندسية
في تمارين البكالوريا قد تطلب متتالية حسابية ناتجة عن لوغاريتم متتالية هندسية: إذا كانت (v_n) هندسية حدودها موجبة وأساسها q، فإن (ln v_n) حسابية أساسها ln q. لأن ln v_(n+1) = ln(q v_n) = ln q + ln v_n.
أخطاء شائعة
- الخلط بين الأساس الحسابي
r(فرق) والهندسيq(نسبة). - عد الحدود في المجموع خطأ، والصحيح
n - p + 1. - نسيان أن الصيغة
u_n = u_0 + n rتفترض أن البداية منu_0. فإذا بدأت المتتالية منu_1كانu_n = u_1 + (n - 1) r. - الاستنتاج أن المتتالية حسابية من حدين أو ثلاثة أحدادها فقط، ولا بد من البرهان العام.
- الخطأ في إشارة الأساس عند تحديد الاتجاه.
- نسيان تبرير أن
nعدد طبيعي عند البحث عن رتبة حد.
تمارين للتدرب
- متتالية حسابية فيها
u_0 = 10وu_5 = 25. أوجد الأساس. - احسب مجموع الأعداد الفردية من
1إلى99. - هل المتتالية
u_n = n² + 1حسابية؟
الحلول:
u_5 = u_0 + 5rفـ25 = 10 + 5rأيr = 3.- حدودها
1 ; 3 ; ... ; 99حسابية أساسها2، وعدد حدودها50، فالمجموع50 × (1 + 99) / 2 = 2500. - لا، لأن
u_(n+1) - u_n = 2n + 1يتعلق بـn.
الشرح المصوّر
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يقدم الأستاذ عبد الباسط في فيديو «المتتالية الحسابية مع تمرين من الباكالوريا، المتتاليات الدرس 04» هذا الدرس في نحو ثلاث وثلاثين دقيقة، وهو الدرس الرابع في وحدة المتتاليات، ويقول إن المتتاليتين الحسابية والهندسية هما الركيزتان الأساسيتان، ثم يطبق القواعد على تمرين من البكالوريا.