بعد أن درس تلميذ البكالوريا قابلية الاشتقاق وتعريف العدد المشتق، يأتي الدرس السادس من محور الدوال العددية: التفسيرات الهندسية لقابلية الاشتقاق والمماسات في كل الحالات. تعرض الصفحة هذه التفسيرات مع أمثلة، وتنتهي بتمارين.
تذكير: العدد المشتق
تكون الدالة
fقابلة للاشتقاق عندaإذا وجدت النهاية:f'(a) = lim [f(x) - f(a)] / (x - a)عندما يؤولxإلىa.
أي أن نسبة التزايد (ميل القاطع) تؤول إلى نهاية منتهية.
التفسير الهندسي
إذا كانت
fقابلة للاشتقاق عندaفإن لمنحناها(C_f)مماسا عند النقطةA(a ; f(a))، معامل توجيههf'(a).
معادلة المماس
y = f'(a) (x - a) + f(a)
مثال
f(x) = x² عند a = 2:
f(2) = 4وf'(x) = 2xفـf'(2) = 4.- المماس:
y = 4 (x - 2) + 4 = 4x - 4.
الحالات الخاصة
1. مماس أفقي
إذا كان f'(a) = 0 فمعادلة المماس y = f(a)، وهو موازٍ لمحور الفواصل.
مثال: f(x) = x² عند 0: المماس y = 0 (محور الفواصل نفسه).
2. مماس شاقولي
إذا كانت lim [f(x) - f(a)] / (x - a) = +∞ (أو -∞) فالدالة غير قابلة للاشتقاق عند a وللمنحنى مماس شاقولي معادلته x = a.
مثال: f(x) = sqrt(x) عند 0: lim sqrt(x)/x = lim 1/sqrt(x) = +∞، فمماس شاقولي x = 0.
3. نقطة زاوية (نصفا مماس)
إذا كانت النهاية من اليمين ومن اليسار منتهيتين لكنهما مختلفتان:
f'_d(a)(مشتق من اليمين) وf'_g(a)(مشتق من اليسار) ،f'_d(a) ≠ f'_g(a).- الدالة غير قابلة للاشتقاق عند
a، وللمنحنى نصفا مماسين (نقطة زاوية).
مثال: f(x) = abs(x) عند 0:
- من اليمين:
1. - من اليسار:
-1. - نقطة زاوية عند
O(0 ; 0).
4. نقطة انعطاف
نقطة يعبر فيها المماس المنحنى (يتغير تقعره)، مثل f(x) = x³ عند 0 (المماس y = 0 يخترق المنحنى).
جدول الحالات
| الحالة | النهاية | المماس |
|---|---|---|
| قابلة للاشتقاق | منتهية | مماس معامله f'(a) |
f'(a) = 0 |
0 | أفقي |
نهاية ±∞ |
غير منتهية | شاقولي x = a |
| نهايتان مختلفتان | يمين ويسار | نصفا مماس |
الاشتقاق الجانبي
لدراسة قابلية الاشتقاق عند a لدالة معرفة بدستورين:
- احسب
f'_d(a)وf'_g(a). - إن تساويا ← قابلة للاشتقاق.
- إن اختلفتا ← غير قابلة، نقطة زاوية.
مثال شامل
f(x) = abs(x - 1). عند 1:
- من اليمين:
[f(x) - 0]/(x - 1) = 1←f'_d(1) = 1. - من اليسار:
-1←f'_g(1) = -1. - غير قابلة للاشتقاق عند
1، نقطة زاوية، ونصفا المماسy = x - 1(يمين) وy = -x + 1(يسار).
تمارين
- أوجد معادلة مماس
f(x) = x² + xعند1. (y = 3x - 1) - هل
sqrt(x)قابلة للاشتقاق عند0؟ (لا، مماس شاقولي) - ما المشتق الأيمن لـ
abs(x)عند0؟ (1)
نصائح
- اكتب تعريف العدد المشتق دائما.
- ادرس اليمين واليسار عند نقاط تغير الدستور.
- ارسم المنحنى لتوضيح المماس.
أخطاء شائعة
- القول إن المماس الشاقولي معامله منتهي.
- نسيان
f(a)في معادلة المماس. - الخلط بين قابلية الاشتقاق والاستمرارية.
الشرح المصوّر
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يقدم الأستاذ عبد الباسط في فيديو «التفسيرات الهندسية لقابلية الاشتقاق والمماسات، الدرس 6، الدوال العددية باك 2025» هذا الدرس في نحو ثلاث وعشرين دقيقة.