بعد أن تتعرف على الدالة الأسية يأتي دور دالة جديدة ترتبط بها ارتباطًا وثيقًا: اللوغاريتم النيبيري. ومن يفهم هذه العلاقة يختصر نصف الدرس، لأن أغلب قواعد اللوغاريتم تنتقل مباشرة من قواعد الأسية بعد قلبها. تجد هنا التعريف والخواص الجبرية والمشتقة والنهايات وطرق حل المعادلات والمتراجحات، ثم دراسة دالة كاملة وأخطاء متكررة وتمارين بحلولها.
من الدالة الأسية إلى اللوغاريتم
الدالة الأسية متزايدة تمامًا ومستمرة على ℝ، وتأخذ كل قيمة موجبة تمامًا مرة واحدة فقط. لهذا السبب تقبل دالة عكسية، نسميها اللوغاريتم النيبيري ونرمز لها بـ ln. هذه الدالة معرّفة على المجال ]0 ; +∞[ وتأخذ قيمًا حقيقية. والعلاقة بين الدالتين هي الأساس الذي يُبنى عليه كل شيء بعد ذلك:
- من أجل
x > 0وyحقيقي:y = ln xتكافئx = e^y. ln(e^x) = xمن أجل كل عدد حقيقيx.e^(ln x) = xمن أجل كلx > 0.ln 1 = 0وln e = 1.
الدالتان ln و exp متعاكستان، ولذلك يكون منحنياهما متناظرين بالنسبة إلى المستقيم الذي معادلته y = x. يمر منحنى اللوغاريتم بالنقطتين (1 ; 0) و (e ; 1)، ويقترب من محور التراتيب دون أن يلمسه، فالمستقيم x = 0 مقارب له. ولا يوجد لوغاريتم لعدد سالب أو معدوم: ln(−2) و ln 0 غير معرّفين، لأن الأسية لا تأخذ قيمة سالبة ولا معدومة.
القواعد الجبرية
من أجل عددين موجبين تمامًا a و b وعدد صحيح n:
ln(a × b) = ln a + ln bln(a / b) = ln a − ln bln(1 / a) = −ln aln(a^n) = n × ln aln(√a) = (1 / 2) × ln a
الفكرة المختصرة أن اللوغاريتم يحوّل الجداء إلى مجموع، والقسمة إلى فرق، والقوة إلى جداء. وهو عكس ما تفعله الأسية التي تحوّل المجموع في الأس إلى جداء. تنبه إلى أن ln(a + b) لا يساوي ln a + ln b، فلا توجد قاعدة تفكك لوغاريتم المجموع.
الاشتقاق ومجموعة التعريف
الدالة ln قابلة للاشتقاق على ]0 ; +∞[ ومشتقتها (ln x)' = 1 / x، وهي موجبة تمامًا، ومنه فالدالة متزايدة تمامًا. وإذا كانت u دالة قابلة للاشتقاق وموجبة تمامًا فإن (ln u)' = u' / u.
مثال: مشتقة f(x) = ln(x² + 1) هي f'(x) = 2x / (x² + 1). ومشتقة g(x) = ln(2x − 4) تحتاج أولًا إلى تعيين مجموعة التعريف: يجب أن يكون 2x − 4 > 0 أي x > 2، ثم g'(x) = 2 / (2x − 4) = 1 / (x − 2).
قاعدة مجموعة التعريف: العبارة ln(u(x)) معرّفة حين يتحقق u(x) > 0. فمجموعة تعريف ln((x − 1) / (x + 2)) هي حل المتراجحة (x − 1) / (x + 2) > 0، أي ]−∞ ; −2[ ∪ ]1 ; +∞[.
النهايات المهمة
lim (x→0⁺) ln x = −∞lim (x→+∞) ln x = +∞lim (x→+∞) (ln x) / x = 0lim (x→0⁺) x × ln x = 0lim (x→0) ln(1 + x) / x = 1
النهايتان الثالثة والرابعة تقولان إن اللوغاريتم «يخسر» أمام الدالة x: عند +∞ ينمو ln x ببطء شديد مقارنة بـ x، وعند 0 يصغر الجداء x × ln x إلى الصفر رغم أن ln x يؤول إلى −∞. وتصح الصيغتان نفسهما مع كل قوة x^n. أما النهاية الأخيرة فهي العدد المشتق للدالة ln عند 1، وقيمته 1.
حل المعادلات والمتراجحات
اللوغاريتم متزايد تمامًا على ]0 ; +∞[، ومنه:
ln a = ln bتكافئa = bمن أجلa > 0وb > 0.ln a < ln bتكافئa < b، ولا يتغير اتجاه المتراجحة.ln x = kتكافئx = e^k، وللمعادلة دائمًا حل واحد، على عكس المعادلة الأسية التي قد لا يكون لها حل.ln x ≥ kتكافئx ≥ e^k.
الخطوات التي ننصح بها: عيّن مجموعة التعريف أولًا، ثم حوّل المعادلة، ثم تحقق من أن كل حل ينتمي إلى مجموعة التعريف.
مثال أول. لحل ln(x − 1) + ln(x + 2) = ln 4 نشترط x − 1 > 0 و x + 2 > 0 أي x > 1. نكتب ln((x − 1)(x + 2)) = ln 4 فنجد x² + x − 2 = 4 أي x² + x − 6 = 0، ومنه (x + 3)(x − 2) = 0. الحلان المحتملان −3 و 2، لكن −3 خارج مجموعة التعريف، فالحل الوحيد هو x = 2.
مثال ثان. لحل 2(ln x)² − ln x − 1 = 0 نضع t = ln x فنحصل على 2t² − t − 1 = 0 أي (2t + 1)(t − 1) = 0. إذن t = 1 أو t = −1 / 2، أي x = e أو x = e^(−1/2). الحلان مقبولان لأنهما موجبان.
مثال ثالث. لحل ln x < 2 مع x > 0 نكتب x < e²، فمجموعة الحلول هي ]0 ; e²[.
مثال متكامل: دراسة دالة
لندرس الدالة f(x) = x − ln x على المجال ]0 ; +∞[.
- النهايات. عند
0⁺يؤول−ln xإلى+∞فالنهاية+∞. عند+∞نكتبf(x) = x × (1 − (ln x) / x)، والقوس يؤول إلى 1، فالنهاية+∞. - المشتقة.
f'(x) = 1 − 1 / x = (x − 1) / x. بما أنx > 0فإشارةf'(x)هي إشارةx − 1: سالبة على]0 ; 1[وموجبة على]1 ; +∞[. - التغيرات. الدالة متناقصة تمامًا على
]0 ; 1]ثم متزايدة تمامًا على[1 ; +∞[، وقيمتها الصغرىf(1) = 1.
ونستنتج أن x − ln x ≥ 1 من أجل كل x > 0، أي ln x ≤ x − 1. وهذه متباينة تتكرر كثيرًا: المستقيم y = x − 1 هو مماس المنحنى ln عند النقطة (1 ; 0)، والمنحنى يقع تحته دائمًا.
أخطاء شائعة
- نسيان مجموعة التعريف وقبول حل يجعل ما بداخل
lnسالبًا أو معدومًا. تحقق من كل وسيط في المعادلة. - كتابة
ln(a + b) = ln a + ln b. الصحيح أن الجداء هو الذي يتحول إلى مجموع:ln(a × b) = ln a + ln b. - المساواة بين
ln(x²)و2 ln xدون شرط. إذا كانxسالبًا فالصحيحln(x²) = 2 ln|x|، وهي معرّفة من أجل كلxغير معدوم. - الخلط بين
ln(x²)و(ln x)². الأولى لوغاريتم المربع والثانية مربع اللوغاريتم. - نسيان
u'عند اشتقاقln(u). مشتقةln(3x)هي3 / (3x) = 1 / xوليست1 / (3x). - الخطأ في إشارة اللوغاريتم:
ln xسالب من أجل0 < x < 1وموجب من أجلx > 1.
تمارين للتدرب
- بسّط
ln 8 − 3 ln 2 + ln(e²). - حل في ℝ المعادلة
ln(2x − 1) = 3. - عيّن مجموعة تعريف الدالة
f(x) = ln(x² − 4). - احسب مشتقة
g(x) = x × ln x − x. - احسب
lim (x→+∞) (ln x − x).
الحلول:
ln 8 = 3 ln 2فالمجموع3 ln 2 − 3 ln 2 + 2 = 2.- الشرط
2x − 1 > 0أيx > 1 / 2. ثم2x − 1 = e³ومنهx = (e³ + 1) / 2، وهو أكبر من1 / 2فهو مقبول. - نحل
x² − 4 > 0فنجد]−∞ ; −2[ ∪ ]2 ; +∞[. g'(x) = ln x + x × (1 / x) − 1 = ln x. إذن الدالةgدالة أصلية للدالةln.- نكتب
ln x − x = x × ((ln x) / x − 1)، والقوس يؤول إلى−1وxيؤول إلى+∞، فالنهاية−∞.
الشرح المصوّر وملفات التمارين
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يقدم الأستاذ عبد الباسط في فيديو «البداية المثالية في الدالة اللوغاريتمية وخواصها» الدرس الأول من الوحدة في نحو خمس وثلاثين دقيقة: يبدأ بالجانب النظري من تعريف وخواص ثم يطبقها في تمرين في آخر الدرس.
وللتدرب على مواضيع حقيقية، اطلع على ملفات التمارين في الموقع: