الدوال الأصلية والحساب التكاملي: الجدول والخواص والتكامل بالتجزئة وحساب المساحات - السنة الثالثة ثانوي

الدوال الأصلية والحساب التكاملي وحدة يجد فيها كثير من التلاميذ صعوبة، مع أن أغلب ما فيها تطبيق منظم لقواعد قليلة. والفرق بين من ينجح فيها ومن يتعثر غالبًا هو الترتيب: أن يفهم التعريف أولًا، ثم يحفظ الجدول، ثم يتدرب على الحسابات الصغيرة قبل أن يحل المسائل الشاملة. تعرض هذه الصفحة الوحدة بهذا الترتيب: الدالة الأصلية وجدولها، ثم التكامل وخواصه، ثم التكامل بالتجزئة، ثم حساب المساحات والقيمة المتوسطة، وتنتهي بأخطاء متكررة وتمارين بحلولها.

الدالة الأصلية

نقول إن ⁦F⁩ دالة أصلية للدالة ⁦f⁩ على مجال ⁦I⁩ إذا كانت ⁦F⁩ قابلة للاشتقاق على ⁦I⁩ ومشتقتها ⁦F'(x) = f(x)⁩ من أجل كل ⁦x⁩ من ⁦I⁩. فالدالة الأصلية هي الدالة التي نعود بها من المشتقة إلى الدالة الأصلية. وهناك ثلاث حقائق أساسية:

• كل دالة مستمرة على مجال تقبل دوال أصلية عليه.
• إذا كانت ⁦F⁩ دالة أصلية لـ ⁦f⁩ فإن كل دالة أصلية أخرى تساوي ⁦F(x) + c⁩ حيث ⁦c⁩ ثابت حقيقي. أي أن الدوال الأصلية لدالة واحدة تختلف عن بعضها بثابت.
• من أجل نقطة معلومة ⁦x₀⁩ وقيمة معلومة ⁦y₀⁩ توجد دالة أصلية وحيدة ⁦F⁩ تحقق ⁦F(x₀) = y₀⁩.

جدول الدوال الأصلية

اقرأ الجدول من اليمين إلى اليسار على أنه جدول للمشتقات مقلوبًا، وتحقق منه دائمًا بالاشتقاق:

• الدالة ⁦k⁩ (ثابت) لها الدالة الأصلية ⁦k x⁩.
• الدالة ⁦x^n⁩ مع ⁦n ≠ −1⁩ لها ⁦x^(n+1) / (n + 1)⁩.
• الدالة ⁦1 / x⁩ على ⁦]0 ; +∞[⁩ لها ⁦ln x⁩، وعلى ⁦]−∞ ; 0[⁩ لها ⁦ln(−x)⁩. ويُختصر الاثنان في ⁦ln|x|⁩.
• الدالة ⁦e^x⁩ لها ⁦e^x⁩.
• الدالة ⁦cos x⁩ لها ⁦sin x⁩، والدالة ⁦sin x⁩ لها ⁦−cos x⁩.
• الدالة ⁦1 / x²⁩ لها ⁦−1 / x⁩، والدالة ⁦1 / √x⁩ لها ⁦2√x⁩.

وللدوال المركبة، من أجل ⁦u⁩ دالة قابلة للاشتقاق:

• ⁦u' × u^n⁩ (مع ⁦n ≠ −1⁩) لها ⁦u^(n+1) / (n + 1)⁩.
• ⁦u' / u⁩ لها ⁦ln|u|⁩.
• ⁦u' × e^u⁩ لها ⁦e^u⁩.
• ⁦u' / √u⁩ لها ⁦2√u⁩.

أمثلة: الدالة ⁦2x × e^(x²)⁩ لها الدالة الأصلية ⁦e^(x²)⁩، لأن ⁦u = x²⁩ و ⁦u' = 2x⁩. والدالة ⁦(2x + 1) / (x² + x + 1)⁩ لها ⁦ln(x² + x + 1)⁩، والمقدار داخل ⁦ln⁩ موجب دائمًا. والدالة ⁦x / √(x² + 1)⁩ لها ⁦√(x² + 1)⁩.

التكامل

إذا كانت ⁦F⁩ دالة أصلية للدالة المستمرة ⁦f⁩ على مجال يحتوي ⁦a⁩ و ⁦b⁩، فتكامل ⁦f⁩ من ⁦a⁩ إلى ⁦b⁩ هو العدد ⁦F(b) − F(a)⁩. نكتبه هكذا (الرمز ⁦_a^b⁩ يعني من ⁦a⁩ إلى ⁦b⁩):

⁦∫_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) − F(a)⁩

هذا العدد لا يتغير باختيار الدالة الأصلية، لأن الثابت ⁦c⁩ يختفي في الفرق. ولذلك لا نكتب ثابتًا في التكامل المحدود.

أمثلة: ⁦∫_0^1 (3x² + 2x) dx = [x³ + x²]_0^1 = 2⁩، و ⁦∫_0^2 (2x + 1) dx = [x² + x]_0^2 = 6⁩.

خواص التكامل

من أجل ⁦f⁩ و ⁦g⁩ مستمرتين و ⁦k⁩ ثابت:

• الخطية: ⁦∫_a^b (f + g) dx = ∫_a^b f dx + ∫_a^b g dx⁩ و ⁦∫_a^b k f dx = k ∫_a^b f dx⁩.
• شال: ⁦∫_a^b f dx = ∫_a^c f dx + ∫_c^b f dx⁩.
• تبديل الحدين: ⁦∫_b^a f dx = −∫_a^b f dx⁩.
• الإشارة والترتيب: إذا كان ⁦f ≥ 0⁩ على ⁦[a ; b]⁩ مع ⁦a ≤ b⁩ فإن ⁦∫_a^b f dx ≥ 0⁩. وإذا كان ⁦f ≤ g⁩ على ⁦[a ; b]⁩ فإن ⁦∫_a^b f dx ≤ ∫_a^b g dx⁩.
• القيمة المتوسطة: القيمة المتوسطة للدالة ⁦f⁩ على ⁦[a ; b]⁩ هي ⁦μ = (1 / (b − a)) × ∫_a^b f(x) dx⁩.

التكامل بالتجزئة

من أجل ⁦u⁩ و ⁦v⁩ قابلتين للاشتقاق ومشتقتاهما مستمرتان:

⁦∫_a^b u(x) v'(x) dx = [u(x) v(x)]_a^b − ∫_a^b u'(x) v(x) dx⁩

والمهم اختيار ⁦u⁩: خذ الدالة التي تبسط بالاشتقاق، كـ ⁦ln x⁩ أو كثير الحدود، واجعل ⁦v'⁩ الدالة التي تعرف دالتها الأصلية بسهولة.

• ⁦∫_1^e ln x dx⁩: نضع ⁦u = ln x⁩ و ⁦v' = 1⁩ فيكون ⁦u' = 1 / x⁩ و ⁦v = x⁩. إذن ⁦[x ln x]_1^e − ∫_1^e 1 dx = e − (e − 1) = 1⁩.
• ⁦∫_0^1 x e^x dx⁩: نضع ⁦u = x⁩ و ⁦v' = e^x⁩. إذن ⁦[x e^x]_0^1 − ∫_0^1 e^x dx = e − (e − 1) = 1⁩.

حساب المساحة

• إذا كانت ⁦f ≥ 0⁩ على ⁦[a ; b]⁩ فمساحة الحيز المحصور بين المنحنى ومحور الفواصل والمستقيمين ⁦x = a⁩ و ⁦x = b⁩ هي ⁦∫_a^b f(x) dx⁩ بوحدة المساحة (⁦u.a⁩)، أي مساحة المستطيل الذي يحدد وحدتي المحورين.
• إذا كانت ⁦f ≤ 0⁩ على المجال فالمساحة هي ⁦−∫_a^b f(x) dx⁩، لأن التكامل يخرج سالبًا والمساحة موجبة.
• إذا كانت إشارة ⁦f⁩ تتغير فنقسم المجال عند أصفارها ونجمع مساحات الأجزاء، كلًا بإشارتها.
• المساحة بين منحنيين، حين يكون ⁦f ≥ g⁩ على ⁦[a ; b]⁩، هي ⁦∫_a^b (f(x) − g(x)) dx⁩.

مثال. مساحة الحيز المحصور بين المنحنيين ⁦y = x⁩ و ⁦y = x²⁩ على ⁦[0 ; 1]⁩. على هذا المجال ⁦x ≥ x²⁩، فالمساحة ⁦∫_0^1 (x − x²) dx = [x² / 2 − x³ / 3]_0^1 = 1 / 2 − 1 / 3 = 1 / 6 u.a⁩.

مثال على القيمة المتوسطة. للدالة ⁦f(x) = x²⁩ على ⁦[0 ; 3]⁩: ⁦∫_0^3 x² dx = [x³ / 3]_0^3 = 9⁩، فالقيمة المتوسطة ⁦(1 / 3) × 9 = 3⁩.

أخطاء شائعة

• نسيان الثابت ⁦c⁩ عند البحث عن مجموع الدوال الأصلية، أو كتابته في التكامل المحدود حيث لا حاجة له.
• تطبيق قاعدة القوة على ⁦1 / x⁩، أي كتابة ⁦x^0 / 0⁩. دالة ⁦1 / x⁩ أصلها ⁦ln|x|⁩.
• الخطأ في إشارة المساحة: إذا كانت الدالة سالبة فالتكامل سالب والمساحة موجبة.
• حساب مساحة بين منحنيين دون تحديد أي المنحنيين فوق الآخر.
• اختيار ⁦u⁩ و ⁦v'⁩ عشوائيًا في التكامل بالتجزئة، فيصير التكامل الجديد أعقد من الأصلي.
• نسيان التحقق: اشتق الدالة الأصلية التي وجدتها، فإن لم تعطك الدالة الأصلية فأخطأت في مكان ما.

تمارين للتدرب

1. أوجد الدالة الأصلية ⁦F⁩ لـ ⁦f(x) = 3x² − 4x + 1⁩ التي تحقق ⁦F(1) = 2⁩.
2. احسب ⁦∫_0^1 2x e^(x²) dx⁩.
3. احسب مساحة الحيز المحصور بين منحنى ⁦y = e^x⁩ ومحور الفواصل والمستقيمين ⁦x = 0⁩ و ⁦x = ln 2⁩.
4. احسب بالتجزئة ⁦∫_1^e x ln x dx⁩.
5. أوجد القيمة المتوسطة للدالة ⁦f(x) = 2x + 1⁩ على ⁦[0 ; 2]⁩.

الحلول:

1. الدوال الأصلية هي ⁦x³ − 2x² + x + c⁩. الشرط ⁦F(1) = 1 − 2 + 1 + c = c = 2⁩، فـ ⁦F(x) = x³ − 2x² + x + 2⁩.
2. ⁦u = x²⁩ فدالتها الأصلية ⁦e^(x²)⁩، إذن ⁦[e^(x²)]_0^1 = e − 1⁩.
3. الدالة موجبة، فالمساحة ⁦[e^x]_0^(ln 2) = e^(ln 2) − e^0 = 2 − 1 = 1 u.a⁩.
4. نضع ⁦u = ln x⁩ و ⁦v' = x⁩ فيكون ⁦v = x² / 2⁩. إذن ⁦[(x² / 2) ln x]_1^e − ∫_1^e (x / 2) dx = e² / 2 − [x² / 4]_1^e = e² / 2 − e² / 4 + 1 / 4 = (e² + 1) / 4⁩.
5. ⁦∫_0^2 (2x + 1) dx = [x² + x]_0^2 = 6⁩، والقيمة المتوسطة ⁦6 / 2 = 3⁩.

الشرح المصوّر وملفات التمارين

لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يحل الأستاذ عبد الباسط في فيديو «افهم الدوال الأصلية والتكامل على أصولها» تمرينًا شاملًا في الوحدة في نحو تسع وعشرين دقيقة. وينصح في بدايته بترتيب الدراسة: فهم الدروس والقوانين والمبرهنات أولًا، ثم التدرب على حساب الدوال الأصلية والتكاملات والتكامل بالتجزئة، ثم الانتقال إلى التمارين الشاملة.

وللتطبيق على مواضيع حقيقية، اطلع على هذه الملفات في الموقع:

• مجلة الحساب التكاملي في البكالوريا شعب علمية للأستاذ شعبان أسامة
• ملخص محور الدوال الاصلية و حساب التكامل للشعب العلمية للأستاذ سعد